人教A版新教材必修第一册《3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值》教案（定稿）.docx

1、第2课时函数的最大(小)值学习目标1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题导语108这个数字大家也许并不陌生：封神榜里面总共有108位神仙；在水浒传中，讲述的是齐聚水泊梁山的108位英雄好汉；在红楼梦中，设置了108个章节，等等这些，足以说明108在古人心中认为是数字之最，今天我们也来一次穿越，和古人一起探讨一下我们的函数之最吧一、直观感知函数的最大值和最小值问题1如图所示是函数yx22x，y2x1(x1，)，yf(x)的图象观察并描述这三个图象的共同特征提示函数yx22

2、x的图象有最高点A，函数y2x1，x1，)的图象有最高点B，函数yf(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点问题2你是怎样理解函数图象最高点的？提示图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值知识梳理函数的最值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最小值注意点：(1)最大(小)值的几何意

3、义：最高(低)点的纵坐标(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如yx，xR.(3)一个函数至多有一个最大(小)值(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)M(f(x)M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是比如f(x)x23成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值例1已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值解作出函数f(x)的图象，如图由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)f(1)1.当x0时，f(x)取最小值为f(0)0，故f(x)的最大值

4、为1，最小值为0.反思感悟图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1已知函数f(x)求函数f(x)的最大值、最小值解作出f(x)的图象如图由图象可知，当x2时，f(x)取最大值为2；当x时，f(x)取最小值为.所以f(x)的最大值为2，最小值为.二、利用函数的单调性求函数的最值问题3若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)在区间a，b上的最大值与最小值分别是多少？提示最大值为f(b)，最小值为f(a)问题4若f(x)x2的定义域为1,2，则f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？提示不一定，需要考虑函数的单调性例2已知函数f(x).(1)证明：函数f(x)在上单调递减；(2)求函数f(

5、x)在1,5上的最值(1)证明设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2x1，f(x1)f(x2).由于x2x1，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间上单调递减(2)解由(1)知，函数f(x)在1,5上单调递减，因此，函数f(x)在区间1,5的两个端点处分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5).反思感悟(1)利用单调性求最值的一般步骤判断函数的单调性利用单调性写出最值(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间a，b上单调递减，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)若函数

6、在闭区间a，b上单调递增，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值跟踪训练2已知函数f(x)x.(1)求证f(x)在1，)上单调递增；(2)求f(x)在1,4上的最大值及最小值(1)证明设1x1x2，则f(x1)f(x2).1x1x2，x1x21，x1x210，0，即f(x1)400时，f(x)60 000100x单调递减，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)max25 000.即月产量为300台时利润最大，最大利润为25 000元反思感悟本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用

7、二次函数解决实际问题的能力解应用题的步骤是审清题意；建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；总结结论，回归题意跟踪训练3将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x50)元，销量减少10(x50)个，销量为50010(x50)(1 00010x)个，则y(x40)(1 00010x)10(x70)29 000.故当x70时，ymax9 000.即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元1.知识清单：(1)函数的最大值、最小值定义(2)求解

8、函数最值的方法2方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法3常见误区：(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论1函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为()Af，fBf(0)，fCf，f(0)Df(0)，f(3)答案B解析观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f.2设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C既有最大值又有最小值D既无最大值又无最小值答案D解析f(x)在(，0)上单调递增，f(x)f(0)1.3函数yx22x，x0,3的值域为()A0,3 B1,0C1，

9、) D1,3答案D解析函数yx22x(x1)21，x0,3，当x1时，函数y取得最小值为1，当x3时，函数y取得最大值为3，故函数的值域为1,34用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_ m.答案3解析设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，则Sx12x2x22(x3)218.所以当x3时，S有最大值1设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：若存在常数M，使得对任意xR，有f(x)M，则M是f(x)的最大值；若存在x0R，使得对任意xR，有f(x)f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；若存在x0R，使得对任意xR，且xx0，有f(x)f(

10、x0)，则f(x0)是f(x)的最大值其中正确说法的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析由函数最大值的概念知正确2下列函数在1,4上最大值为3的是()Ay2 By3x2Cyx2 Dy1x答案A解析选项B，C在1,4上均单调递增，选项A，D在1,4上均单调递减，代入端点值，可知A正确3函数f(x)x23x2在区间(5,5)上的最大值、最小值分别为()A42,12 B42，C12， D无最大值，最小值为答案D解析因为f(x)2，x(5,5)，所以当x时，f(x)有最小值，f(x)无最大值4某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x(其中销售量单位：

11、辆)若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A90万元 B60万元C120万元 D120.25万元答案C解析设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，公司获利为Lx221x2(15x)x219x30230，当x9或10时，L最大值为120万元5规定maxa，b表示取a，b中的较大者，例如max0.1，20.1，max2,22.则函数f(x)maxx1,42x的最小值为()A1 B2 C3 D4答案B解析当x142x，即x1时，maxx1,42xx1；当x142x，即x1时，maxx1,42x42x；所以f(x)显然f(x)在(，1上单调递减，在1，)上单调递增，所以当x1时，

12、f(x)取得最小值为f(1)2.6(多选)若函数f(x)x24x1在定义域A上的值域为3,1，则区间A可能为()A0,4 B2,4 C1,4 D3,5答案ABC解析函数f(x)x24x1的图象是开口向上的抛物线，以直线x2为对称轴，函数f(x)在区间(，2)上单调递减，在2，)上单调递增当x0,4时，函数的最小值为f(2)3，最大值为f(0)f(4)1，得函数的值域为3,1；当x2,4时，函数的最小值为f(2)3，最大值为f(4)1，得函数的值域为3,1；当x1,4时，函数的最小值为f(2)3，f(1)2f(5)6，最大值为f(3)22，得函数的值域为3,22根据以上的讨论可得区间A不可能为3

13、,57函数yax1在区间1,3上的最大值为4，则a_.答案1解析若a0，则函数yax1在区间1,3上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a14，解得a3，不满足a0，则函数yax1在区间1,3上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a14，解得a1.综上，a1.8函数f(x)，x1,2，则f(x)的最大值为_，最小值为_答案1解析f(x)在1,2上单调递减，f(2)f(x)f(1)，即1f(x).9画出函数yx(|x2|2)，x1,5的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值解原函数化为y在平面直角坐标系内作出其图象，如图观察图象得，函数yx(|x2|2)的单调递减区

14、间是1,0，2,5，单调递增区间是(0,2)，当x2时，ymax4，当x5时，ymin5，所以原函数最大值为4，最小值为5.10某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式yf(x)(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，由表格得方程组解得所以yf(x)3x162.又y0，所以30x54

15、，故所求函数关系式为y3x162，x30,54(2)由题意得，P(x30)y(x30)(1623x)3x2252x4 8603(x42)2432，x30,54当x42时，日销售利润最大，最大值为432元，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润11已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A1，) B0,2C(，2 D1,2答案D解析f(x)(x1)22，f(x)min2，f(x)max3，且f(1)2，f(0)f(2)3，1m2.12函数f(x)的最大值是()A. B. C. D.答案C解析因为1x(1x)x2x12，所以.故f(x)的最大值为.13已

16、知函数f(x)2x2ax1，x1，a，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为()A(，4 B(，12，)C2，) D4，)答案C解析函数f(x)2x2ax1图象的对称轴方程为x，当10时，要使f(x)的最大值为f(a)，则f(a)f(1)，即2a2a212a1，解得a1(舍)或a2.14用mina，b表示a，b两个数中的最小值设f(x)minx2，10x(x0)，则f(x)的最大值为_答案6解析在同一个平面直角坐标系内画出函数yx2和y10x的图象根据minx2,10x(x0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分解方程x210x，得x4，此时y6，故两图象的交点为(4,6)

17、所以f(x)其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.15(多选)已知f(x)x，g(x)x22x，F(x)则F(x)的最值情况是()A最大值为3 B最小值为1C无最小值 D无最大值答案CD解析由f(x)g(x)得0x3；由f(x)g(x)，得x3，所以F(x)作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值16函数f(x)(aR)的定义域为(0,2(1)当a1时，求函数yf(x)的值域；(2)求函数yf(x)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x的值解(1)当a1时，f(x)x22，当且仅当x，即x1时等号成立f(2)2，当x0且x趋向于0时，趋向于，所以f

18、(x)x趋向于，所以函数yf(x)的值域为2，)(2)当a0时，f(x)x，则函数yf(x)在(0,2上单调递增，无最小值，当x2时取得最大值2；f(x)x，任取x1，x2(0,2，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)，当a4时，函数yf(x)在(0,2上单调递减，无最大值，当x2时取得最小值2；当4a0时，若x1，x2(0，)，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，若x1，x2，2，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数yf(x)在(0，上单调递减，在，2上单调递增，无最大值，当x时取得最小值2.综上，当a0时，yf(x)无最小值，当x2时取得最大值2；当a4时，yf(x)无最大值，当x2时取得最小值2；4a0时，yf(x)无最大值，当x时取得最小值2.