人教A版新教材必修第一册《4.4.3 不同函数增长的差异》教案(定稿).docx
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1、4.4.3不同函数增长的差异学习目标1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型导语同学们,等你们大学毕业了,显然要面对一个现实的问题,那就是如何使你的收入最大化,如果你现在手里有一笔资金可以用于投资,现在有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报是这样的:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番请问,你会选择哪种投资方案?为了解决这个问题,让我们一起开始今天的探究吧!一、几个函数模型增长差异的比较问题1结合之
2、前所学,请同学们自行阅读课本136页138页,同桌之间可以相互讨论,5分钟后检查讨论结果提示通过对y2x与y2x的比较我们发现,函数y2x的增长速度保持不变,函数y2x的增长速度在变化,而且增长速度越来越快,虽然函数y2x在一定范围内比函数y2x增长快些,但存在一个x0,当xx0时,总有2x2x,即使一次函数ykx(k0),k的值远远大于指数函数yax(a1)中a的值,yax(a1)的增长速度最终都会大大超过ykx(k0)的增长速度通过对函数ylg x与yx的比较我们发现,函数yx的增长速度保持不变,函数ylg x的增长速度在变化,而且增长速度越来越慢,虽然函数ylg x在一定范围内比函数yx
3、增长快些,但存在一个x0,当xx0时,总有xlg x,即使对数函数ylogax(a1)中底数a的值远远大于一次函数ykx(k0)中k的值,一次函数ykx(k0)的增长速度最终都会超过对数函数ylogax(a1)的增长速度问题2把一次函数y2x,对数函数ylg x和指数函数y2x的图象画到同一坐标系下,并比较它们的增长差异提示一次函数y2x匀速增长,指数函数y2x增长越来越快,对数函数ylg x增长最慢知识梳理三种常见函数模型的增长差异函数性质yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)在(0,)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度
4、不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度yax(a1)的增长速度最终都会大大超过ykx(k0)的增长速度;总存在一个x0,当xx0时,恒有logaxx0时,有axkxlogax注意点:(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长很大时,常常选用对数函数模型(3)一次函数增长速度不变,平稳变化(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上例1(1)下列函数中,增长速度最快的是()Ay2 023x Byx2 023Cylog2 023x Dy2 023x答案A解析比较一次函数、幂函数、指
5、数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快(2)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:x1357911y151356251 7153 6356 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.207.40则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是()Ay1,y2,y3 By2,y1,y3Cy3,y2,y1 Dy3,y1,y2答案C解析由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较,指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函数,y3是对数函数反思感悟常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型
6、:线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变(2)指数函数模型:指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型:对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓(4)幂函数模型:幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间跟踪训练1下列函数中,增长速度越来越慢的是()Ay6x Bylog6xCyx2 Dy6x答案B解析D中一次函数的增长速度不变;A,C中函数的增长速度越来越快;只有B中对数函数的增长速度越来越慢,
7、符合题意二、函数增长速度的比较例2函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以1x12,9x210,所以x16x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(6)x2时,f(x)g(x),所以f(2 022)g(2 022)又因为g(2 022)g(6),所以f(2 022)g(2 022)g(6)f(6)反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时
8、,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数跟踪训练2函数f(x)lg x,g(x)0.3x1的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出C1,C2分别对应的函数;(2)以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较解(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1;C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x);当x1xg(x);当xx2时,g(x)f(x);当xx1或xx2时,f(x)g(x)三、函数模型的选择问题3现在你能对你资金的三种投资方案做出选择了吗?方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每
9、天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番提示如果做短期投资,方案二收益较高;如果做长期投资,显然方案三最终回报最高例3汽车制造商在2022年年初公告:公司计划2022年的生产目标为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如表所示:年份(年)201920202021产量(万辆)81830如果我们分别将2019,2020,2021,2022定义为第一、二、三、四年现在有两个函数模型:二次函数模型f(x)ax2bxc(a0),指数型函数模型g(x)abxc(a0,b0,b1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?解建立年产量y与年份x的函数,可知函数
10、图象必过点(1,8),(2,18),(3,30)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0),将点的坐标代入,可得解得则f(x)x27x,故f(4)44,与计划误差为1万辆构造指数型函数模型g(x)abxc(a0,b0,b1),将点的坐标代入,可得解得则g(x)x42,故g(4)44244.4,与计划误差为1.4万辆由可得,二次函数模型f(x)x27x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,
11、且能得出正确结论(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题跟踪训练3在飞机制造业中,发现一条规律:制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%;第4(即22)架是第2架的80%;第8(即23)架是第4架的80%;,这就是说,通过积累经验,可以提高效率这也是符合学习规律的,这里的80%称为“进步率”,所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”设制造第1架飞机需要用k个工时,进步率为r,试求出制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式解由题意,可知第1架用k个工时,第2架用kr个工时,第22架用kr
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