人教A版新教材必修第一册《5.2.2 同角三角函数的基本关系》教案（定稿）.docx

1、5.2.2同角三角函数的基本关系学习目标1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明导语“一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前”伴随着一首经典老歌，让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现一

2、、利用同角三角函数的关系求值问题1观察下表，你能发现什么？0sin 01cos 10tan 01不存在提示对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos 0)，正弦与余弦的平方和等于1.问题2若P(x，y)是角的终边与单位圆的交点，则角的三个三角函数值之间有什么联系？提示若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2y21.知识梳理同角三角函数的基本关系平方关系：sin2cos21；商数关系：tan .这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切注意点：(1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立(2)对于s

3、in2cos21对一切R恒成立，而tan 仅对k(kZ)成立(3)sin2是(sin )2的缩写，不能写成sin 2.例1(教材183页例6改编)已知cos ，求sin ，tan 的值解cos 0，tan 0，sin ，tan ；当是第三象限角时，sin 0，sin ，tan .反思感悟已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin m，先求cos ，再由公式tan 求tan .(2)若已知cos m，先求sin ，再由公式tan 求tan .(3)若已知tan m，则tan msin mcos 及sin2cos21，通过方程组求解(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的

4、符号跟踪训练1已知sin 3cos 0，求sin ，cos 的值解sin 3cos 0，sin 3cos .又sin2cos21，(3cos )2cos21，即10cos21，cos .又由sin 3cos ，可知sin 与cos 异号，角的终边在第二或第四象限当角的终边在第二象限时，cos ，sin ；当角的终边在第四象限时，cos ，sin .二、利用同角三角函数的关系化简问题3你能发现同角三角函数的哪些变形形式？提示sin2cos21tan 利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式

5、子中尽量不含根号，能求值的尽量求值例2化简：(1)；(2)；(3)sin2tan 2sin cos .解(1)原式2tan2.(2)原式1.(3)原式sin2cos22sin cos .反思感悟三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的跟踪训练2化简：(1tan2)cos2.解原式cos2cos2112.三、一般恒等式的证明例3求证：.证明方法一左边右

6、边所以原等式成立方法二右边左边所以原等式成立反思感悟证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异(4)变更命题法，如要证明，可证adbc，或证等(5)比较法，即设法证明“左边右边0”或“1”注意点：(1)证明三角恒等式的实质：清楚等式两端的差异，有目的地化简(2)基本原则：由繁到简(3)常用方法：从左向右证，从右向左证，左右同时证跟踪训练3求证：.证明左边右边所以原等式成立1知识清单：(1)同角三角函数的基本关系(2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简

7、与证明2方法归纳：由部分到整体、整体代换法3常见误区：求值时注意的范围，如果无法确定，一定要对所在的象限进行分类讨论1已知锐角满足sin ，则tan 等于()A B. C D.答案D解析锐角满足sin ，cos ，tan .2已知tan ，则cos 的值是()A B. C D.答案C解析由tan ，可得，又sin2cos21，可得cos2cos21，解得cos2，因为，所以cos .3已知f(x)，x，则f等于()A2 B4 C0 D.答案A解析f(x)，因为x，所以f(x)2tan x，则f2tan2()2.4已知是三角形的内角，且tan ，则sin cos 的值为 答案解析由tan ，得s

8、in cos ，将其代入sin2cos21，得cos21，所以cos2，易知cos 0，所以cos ，sin ，故sin cos .1已知是第四象限角，cos ，则sin 等于()A. B C. D答案B解析由条件知是第四象限角，所以sin 0，cos 0且a1，若loga(sin xcos x)0，则sin8xcos8x .答案1解析因为a0且a1，若loga(sin xcos x)0，则sin xcos xa01，所以(sin xcos x)2sin2xcos2x2sin xcos x1，又sin2xcos2x1，所以sin xcos x0，又由(sin2xcos2x)2sin4xcos4

9、x2sin2xcos2x1，得sin4xcos4x1，所以sin8xcos8x(sin4xcos4x)22sin4xcos4x(sin4xcos4x)21.9已知cos ，求sin ，tan 的值解cos 0，cos 0.tan tan tan 1.(2)证明1.11若tan m，是第二象限角，则cos 等于()A B.C D.答案A解析是第二象限角，且tan m，m0，cos 0，cos 0，由题意可得即解得m8.16(1)分别计算sin4cos4和sin2cos2的值，你有什么发现？(2)任取一个的值，分别计算sin4cos4，sin2cos2，你又有什么发现？(3)证明：xR，sin2xcos2xsin4xcos4x.(1)解sin4cos4，sin2cos2，所以sin4cos4sin2cos2.(2)解不妨取.则有sin4cos41；sin2cos21.所以当取时，sin4cos4sin2cos2.(3)证明对于任意实数x，都有sin2xcos2x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)sin4xcos4x.