大学物理实验误差与数据处理剖析课件.ppt

1、第五节第五节 测量结果的评定测量结果的评定中心内容中心内容1.不确定度不确定度(Uncertainty)不确定度是近似于不确知、不明确、不可靠、有质疑。不确定度不确定度是近似于不确知、不明确、不可靠、有质疑。不确定度定义为测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量量的分散定义为测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某一量值范围内的一个评定。表示由于测量性，它是被测量客观值在某一量值范围内的一个评定。表示由于测量误差存在而对测量值不能确定的程度。误差存在而对测量值不能确定的程度。xUx UxA真值真值x0以某一概率落到这个范围内以某一概率落到这个范围内不

2、确定度不确定度这表明待测量这表明待测量x 以某一概率落到以某一概率落到Ux 范围内。范围内。2.不确定度的表示不确定度的表示按照数据的性质分类按照数据的性质分类（1）类类不确定度不确定度：类不确定度类不确定度是可用统计的方法计算的不确定度。用是可用统计的方法计算的不确定度。用 表示表示类不确定度，其计算公式也就是计算测量列随机误差类不确定度，其计算公式也就是计算测量列随机误差里算术平均值的标准偏差的公式。里算术平均值的标准偏差的公式。Au 即即)1()(12nnxxnssuniixA 若有若干个若有若干个A类不确定度，且这些分量彼此独立，那类不确定度，且这些分量彼此独立，那么总的么总的A类不确

3、定度为：类不确定度为：232221AAAAuuuu 为提高测量数据的可信度，使置信概率为提高测量数据的可信度，使置信概率P95%，我们，我们规定规定 （在测量次数为（在测量次数为5-10，直接可用函数计，直接可用函数计算器算出）。算器算出）。ssuxA 3类不确定度比较复杂。类不确定度比较复杂。在本课中主要考虑由仪器误差引在本课中主要考虑由仪器误差引起的类不确定度起的类不确定度。但仪器误差所给出的值一般都是误差。但仪器误差所给出的值一般都是误差限，即限，即“极限误差极限误差”，其置信概率不一定合适，为了能，其置信概率不一定合适，为了能够将两类不确定度合成为总不确定度，可近似地将够将两类不确定度

4、合成为总不确定度，可近似地将 除以除以一个系数一个系数c，作为，作为B类不确定度：类不确定度：仪cuB仪 c的取的取值大小，取决于所用的仪器。值大小，取决于所用的仪器。我们实验中取我们实验中取c,那么那么 仪测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度类不确定度。（2 2）类类不确定度不确定度：仪Bu仪器名称仪器名称 米尺米尺游标卡尺游标卡尺 千分尺千分尺物理天平物理天平 秒表秒表误差分布误差分布 正态分布正态分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布c 3 3 3 3 3 不确定度的合成（总不确定度）不确定度的合成（总

5、不确定度）2222仪suuUBA3.直接测量的结果表示直接测量的结果表示 对物理量对物理量A进行测量，如果对可定系统误差已经消除或修正，则测量进行测量，如果对可定系统误差已经消除或修正，则测量结果应表示为：结果应表示为：A的真实值落在的真实值落在 的可能性为的可能性为95%以上时以上时可以不必标注概率可以不必标注概率P的值的值。区间内到 UAUA?%100U)(UPxExx单位例例3用用50分度的卡尺测一长度，分度的卡尺测一长度，7次测量的结果（单位：次测量的结果（单位：mm）分别分别为为：39.70,39.72,39.68,39.70,39.74,39.72,39.68。已知卡尺的仪器误差已

6、知卡尺的仪器误差0.02 mm，且服从均匀分布，写出测量结果的，且服从均匀分布，写出测量结果的表达式。表达式。解：解：(mm)71.397171iiLLL平均值平均值A类不确定度类不确定度(mm)2202.017)(712iiLLLsB类不确定度类不确定度）（仪mm 02.0Lu总不确定度：总不确定度：(mm)037.002.00222.02222LLusU测量结果：测量结果：L=39.710.04 （mm)E=0.010%4.间接测量结果的表示方法间接测量结果的表示方法(误差传递与合成误差传递与合成)间接测量结果的间接测量结果的表达式仍是：表达式仍是：如何计算它的如何计算它的不确定度不确定度

7、U？%100U)(UxExx单位（1）间接测量列的不确定度间接测量列的不确定度P17 假定间接测量列假定间接测量列Y是通过各直接测量列是通过各直接测量列X测量的，它们的函测量的，它们的函数关系为数关系为),(321nxxxxfY，则其平均值则其平均值(近真值近真值)为为123(,)nYf x xxx，mmjjdxxfdxxfdxxfdxxfdY2211求全微分得求全微分得假设间接测量列假设间接测量列 Y 的各直接测量列的各直接测量列 xi 之间相互独立之间相互独立，且，且各直接测量列各直接测量列 xi的合成不确定度分别为的合成不确定度分别为,21nUUU不确定度不确定度U和和dY，dx1，dx

8、2，.，dxn，都是微小变，都是微小变量，我们分别用量，我们分别用U代替代替则则 Y 的合成不确定度的计算公式为：的合成不确定度的计算公式为：22221 nUUUU21)(xf22)(xf2)(nxf函数函数 f 对各变量的偏微商对各变量的偏微商mmjjUxfUxfUxfUxfU2211误差传递系数误差传递系数相对合成不确定度：相对合成不确定度：nnnndxxfdxxfdxxfYdYxxxfYxxxfY ln.lnln).(lnln).(2211,2,1,2,1，再求导，再求导取自然对数，得取自然对数，得对对%100YUE如如分别用不确定度分别用不确定度U代替微分的微小量代替微分的微小量,并分

9、别平方、开方得并分别平方、开方得若是乘除关系则先求相对不确定度若是乘除关系则先求相对不确定度,再求合成不确定度方便再求合成不确定度方便.若若x1,x2,x3,x4 是独立相互加减的关系是独立相互加减的关系,那么先计算间那么先计算间接测量列的合成不确定度，再求相对不确定度方便接测量列的合成不确定度，再求相对不确定度方便.具体问题具体问题具体分析！具体分析！注意，注意，这是函数这是函数 f 的的自然对数自然对数对各自变量的对各自变量的偏微商偏微商。（2）间接测量结果的表示）间接测量结果的表示 P18与直接测量结果表示的方式是一样的与直接测量结果表示的方式是一样的。2222222121)ln(,)l

10、n()ln(nnUxfUxfUxfYUE那么合成不确定度就是那么合成不确定度就是YEU 例例4 利用单摆实验测重力加速度利用单摆实验测重力加速度224Tlg直接测量量为直接测量量为 l 和和 T，测得测得:69.00 cm,Ul=0.22 cm =1.688 s ,UT=0.007 slT测量结果：测量结果：22222222222222222224469.09.780(m/s)1.688lnln4lnln(ln)ln12ln/lnln12()()()()12()0.22()0.0070.00969.001.688 2lTlTlgTglTldgdg gdldTdldTlTlTUggEUUUUgl

11、TlTT 22 0.0880.09 (m/s)g9.780.09 (m/s)0.9%UE第六节第六节有效数字及其运算规则有效数字及其运算规则1.1.有效数字的概念有效数字的概念 有效数字就是表示测量或计算结果的数字，它是由几位有效数字就是表示测量或计算结果的数字，它是由几位可靠数字和最后一位可疑数字组成。可靠数字和最后一位可疑数字组成。测量数据本身就带有较测量数据本身就带有较强的物理意义！强的物理意义！1.32545 24.675 65890 0.579 0.000982 0.21067(1)(1)直接测量结果的有效数字的位数与测量仪器的最小分直接测量结果的有效数字的位数与测量仪器的最小分度值

12、有关。度值有关。测量结果直接反映了测量仪器的精度。测量结果直接反映了测量仪器的精度。一般在最小刻度以下再估读一位数，一般在最小刻度以下再估读一位数，大学物理实验中要求大学物理实验中要求估读最小刻度的估读最小刻度的1/101/10。3.7（格）（格）3.70（格）（格）(2)测量量单位的变化只改变有效数字中小数点的位置，而测量量单位的变化只改变有效数字中小数点的位置，而不改变有效数字的位数。不改变有效数字的位数。如测得某电流强度为如测得某电流强度为2.0A，其有，其有效位数为效位数为2位，若以位，若以mA为单位写成为单位写成2000mA，则是错误的。，则是错误的。应取科学记数法表示有效数字，应取

13、科学记数法表示有效数字，2.0103mA，有效位数，有效位数仍为仍为2.(3)无论直接或间接测量的结果，其主值（平均值）位数取无论直接或间接测量的结果，其主值（平均值）位数取舍的依据是：舍的依据是：它的末位必须与不确定度所在的位对齐。它的末位必须与不确定度所在的位对齐。(4)测量结果的有效数字：不确定度取测量结果的有效数字：不确定度取-位，相对误差取位，相对误差取位，其尾数的舍入规则是：位，其尾数的舍入规则是：只入不舍只入不舍。判断以下测量结果表达得是否正确：判断以下测量结果表达得是否正确：I=1.0120.123(A)U=1.0120.0004(V)f=（3.450.006）103 （Hz）

14、T=9.03 0.01 M=1.010.03（g）2.数字的修约数字的修约(取舍取舍)进行数据处理必须对数字修约，数字修约规则进行数据处理必须对数字修约，数字修约规则有多种，此处只介绍常用的所谓有多种，此处只介绍常用的所谓“四舍五入法四舍五入法”，这也是我们大学物理实验中规定采用的。这也是我们大学物理实验中规定采用的。四舍五入规则四舍五入规则 若数字的有效位数为若数字的有效位数为N，需修约为，需修约为n位位(nN)，或截取为，或截取为n位，则称此位，则称此n位数为保留数字；称第位数为保留数字；称第n+1位及其之后的全部位及其之后的全部数字为舍去数字。四舍五入规则为：数字为舍去数字。四舍五入规则

15、为：大于大于5上入上入 例如例如:4.509=4.51 5.6678=5.67 小于小于5下舍下舍 例例:4.7149999=4.71 整五凑偶整五凑偶 5后面是后面是“0”时：时：1.保留数最末位是偶数时，保留数不变；保留数最末位是偶数时，保留数不变；2.保留数最末位是奇数时，则保留数最末位数字加保留数最末位是奇数时，则保留数最末位数字加1。5后面还有任何非后面还有任何非“0”数值时，则保留数最末位数字均加数值时，则保留数最末位数字均加1。例：将下表中各数字按四舍五入规则修约为三位有效数字例：将下表中各数字按四舍五入规则修约为三位有效数字（即取修约间隔或称修约区间为（即取修约间隔或称修约区间

16、为0.01），则：），则：数据数据3.1450013.144984.50764.500009.84509.835009.8051修约值修约值3.153.144.514.509.849.849.81舍入舍入类型类型五上入五上入五下舍五下舍五上入五上入五下舍五下舍整五凑整五凑偶偶整五凑整五凑偶偶整五凑整五凑偶偶3.3.有效数字的运算规则有效数字的运算规则(1)(1)可靠与可靠运算可靠；可靠与可靠运算可靠；(2)(2)可靠与可疑或可疑与可疑运算可靠与可疑或可疑与可疑运算 可疑；可疑；(3)(3)运算结果只保留运算结果只保留一位一位可疑数字；可疑数字；(4(4)运算时，常数、无理数等运算时，常数、无理

17、数等,其有效位数无限制。其有效位数无限制。例：例：97.4 6.238103.638应为应为 103.613.6 1.6816136 21.76应为应为 2221714.8202.2应为应为 2022.453 6.249061471815.2086应为应为 15.2相加减相加减：先先将小数点对齐将小数点对齐，结，结果保留到参与运算量中果保留到参与运算量中最先出现最先出现的可疑数位。的可疑数位。相乘除：相乘除：结果保留到参与运结果保留到参与运算各量中算各量中最少的位数最少的位数(或多出或多出1位位)。3.56.472=3.188 103；4.ln58.6=4.07;5.4.52=64；45.21

18、32=6.4220 1036.Sin605=0.866751708(查表查表)Sin1=0.0002908882045 Sin605=0.8668。第七节第七节 实验数据的处理和表示实验数据的处理和表示 列表法、作图法、逐差法和回归法列表法、作图法、逐差法和回归法一、列表法一、列表法 列表法是最常用的方法，特点：简单明了，形式紧凑，各数据便列表法是最常用的方法，特点：简单明了，形式紧凑，各数据便于参考比较。于参考比较。二、作图法二、作图法(对照下页图示对照下页图示)作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来，也可用来求某些物理参数，因

19、此它是求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法一种重要的数据处理方法。作图时要先。作图时要先整理出数据表格，并整理出数据表格，并要要用坐标纸作图用坐标纸作图。曲线改直曲线改直bxazbxayabyazyxzxayxlnlnlnlnln.2,1.1则有令1.图形在坐标中的位置图形在坐标中的位置.2.坐标轴的起点不一定是坐标轴的起点不一定是0.3.最小分格是最小分格是1、2、5 4.标点、连线问题标点、连线问题作图步骤：作图步骤：实验数据列表如下实验数据列表如下.U(V)0.741.522.333.083.664.495.245.986.767.50I(mA)2.004.016.228.20

20、9.7512.00 13.99 15.92 18.00 20.011.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 根据表数据根据表数据U 轴轴,可选可选1mm对应于对应于0.10V，I 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.20mA，并可定，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为约为130mm130mm。表表1：伏安法测电阻实验数据：伏安法测电阻实验数据2.2.标明坐标轴：标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭头标轴用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单方向，标坐标轴的名称或符号、单位位,再按顺序

21、标出坐标轴整分格上再按顺序标出坐标轴整分格上的量值的量值。4.4.连成图线：连成图线：用直尺、曲线板等把点连成直用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。线正穿过实验点时可以大体均匀。线正穿过实验点时可以在图点处断开。在图点处断开。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.

22、003.3.标实验点标实验点5.5.标出图线特征：标出图线特征：在图上空白位置标明实验在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出数。如利用所绘直线可给出被测电阻被测电阻R大小：从大小：从所绘所绘直线直线上读取两点上读取两点 A、B 的坐标就可的坐标就可求出求出 R 值。值。电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线6.6.标出图名：标出图名：在图线下方或空白位置写出在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。图线的名称及某些必要的说明。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00

23、0 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：)k(379.076.258.1800.100.7ABABIIUUR不当图例展示不当图例展示n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图曲线太粗，不曲线太粗，不均匀，不光滑均匀，不光滑。应该用直尺、曲应该用直尺、曲线板等工具把实线板等工具把实验点连成光滑、验点连成光滑、均匀的细实线。均匀

24、的细实线。n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()例例伏安法测电阻伏安法测电阻(1)将测量

25、数据列入表中将测量数据列入表中表电阻表电阻 R 的伏安关系的伏安关系(2)(2)画出伏安曲线画出伏安曲线I(mA)V(V)053246810124B(V2,I2)A(V1,I1)电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线1212IIVVR电压(V)0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00电流(mA)0.00 0.50 1.02 1.49 2.05 2.51 2.98 3.52 4.00 4.481.1.问题的提出问题的提出 如果测量列如果测量列x，y之间的函数关系为线性，之间的函数关系为线性，需要解决的问题就是通过需要解决的问题就是通过x，y的一

26、系列测量值来确定式中的斜率的一系列测量值来确定式中的斜率k。bxky 例如仍要处理上例中的数据：例如仍要处理上例中的数据：三、三、用逐差法处理数据用逐差法处理数据2.计算方法计算方法表电阻表电阻 R R 的伏安关系的伏安关系电压电压(V)0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00(V)0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00电流电流(mA)0.00 0.50 1.02 1.49 2.05 2.51 2.98 3.52(mA)0.00 0.50 1.02 1.49 2.05 2.51

27、 2.98 3.52 4.00 4.484.00 4.48把这些数据分成五组，分别计算把这些数据分成五组，分别计算R，再求平均值。再求平均值。电压电压(V)0.001.002.003.004.005.006.007.008.009.00电流电流(mA)I1I2I3I4I5I6I7I8I9I10电阻电阻 R 的伏安关系的伏安关系若测得的若测得的n个电流值隔项差个电流值隔项差,即即1nnIII那么那么1012132431091()()().()10 19IIIIIIIIIII 为了充分利用数据为了充分利用数据,我们分组逐差我们分组逐差6172831051()()().()5IIIIIIIII 4.

28、采用逐差法处理数据的条件：采用逐差法处理数据的条件：3.用逐差法处理数据的优点：用逐差法处理数据的优点：用逐差法处理数据，可以用上全部的测量数据，减少了由用逐差法处理数据，可以用上全部的测量数据，减少了由计算过程引起的误差。计算过程引起的误差。（1）x等间距变化；等间距变化；（2）x的测量误差可以忽略；的测量误差可以忽略；（3）测量次数为偶数）测量次数为偶数。四、四、用最小二乘法与线性回归用最小二乘法与线性回归1.问题的提出问题的提出一元线性回归（直线拟合）一元线性回归（直线拟合）如果测量列如果测量列x，y之间的函数关系为线性，之间的函数关系为线性，需要解决的问题就是通过需要解决的问题就是通过

29、x，y的一系列测量值来确定式中的的一系列测量值来确定式中的斜率斜率 k 和截距和截距b。bxky 2.用最小二乘法处理数据的条件用最小二乘法处理数据的条件x 的误差可以忽略，只考虑测量列的误差可以忽略，只考虑测量列 y 的误差。的误差。3.最小二乘法原理最小二乘法原理测量若干组数据，每个数据点的测量若干组数据，每个数据点的 y 都有一定都有一定偏差偏差：最小二乘最小二乘法要求所求得的法要求所求得的 k 和和 b，应使测量列，应使测量列 y 的偏差的平方和最小的偏差的平方和最小。y 的偏差可从图上看出的偏差可从图上看出Y yiy 0 X xi vimin)(2112bkxyiniiniiv)(b

30、kxyyyiiiiv4.最小二乘法的计算过程最小二乘法的计算过程根据上式，根据上式，k 和和 b 应满足二元函数的极值条件，即应满足二元函数的极值条件，即0)(0)(1212niiniibkvv从而求得从而求得 k 和和 b 的值应为的值应为 xkybxxxyyxk22计算时需注意计算时需注意“平均值的平方平均值的平方”与与“平方的平均值平方的平均值”间的差别。间的差别。)(bkxyyyiiiiv3.相关系数相关系数 两个量，如果一个量的变化会导致另一个量的变化，就两个量，如果一个量的变化会导致另一个量的变化，就称它们称它们“相关相关”。这里以这里以“相关系数相关系数”表示那些实验点靠近所求最

31、佳曲表示那些实验点靠近所求最佳曲线的程度。线的程度。相关系数计算公式：相关系数计算公式：)()(2222yyxxyxyx 1,-1所有的实验点都在最佳直线上。所有的实验点都在最佳直线上。0实验点是完全分散的。实验点是完全分散的。一般一般 在在1 -1之间。之间。),.,2,1(.)(2210mjxaxaxaxaaxfyjjmm拟和曲线拟和曲线偏差偏差),.,(10miiiaaaxfyv),.,2,1(),.,(2102niaaaxfyvsmiii偏差平方和偏差平方和偏差差平方和最小偏差差平方和最小0jas),.,1,0(0)(10mjxxayjinimkkiki或或m+1+1个方程个方程 m+1个未知数（个未知数（a0 0,a1 1,am）多多项项式式关关系系无课后作业无课后作业祝同学们学习顺利！祝同学们学习顺利！咨询电话：咨询电话：5688821