大学物理教学课件1第4章.pptx
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1、大学物理学 第第4 4章章 动量和角动量动量和角动量本章主要内容:本章主要内容:1、了解动量、角动量的概念、了解动量、角动量的概念2、掌握动量及角动量定理的内容与应用、掌握动量及角动量定理的内容与应用3、掌握动量守恒和角动量守恒定律、掌握动量守恒和角动量守恒定律 4、碰撞碰撞定义定义 1、瞬时性、瞬时性 2、矢量性、矢量性 3、相对性、相对性zzyyxxmvpmvpmvp 1、质点的动量、质点的动量在直角坐标系中:在直角坐标系中:vmp=在国际单位制(在国际单位制(SI)千克千克米米/秒(秒(kgm/s)4.1 动量定理动量定理2、质点系的动量、质点系的动量nn221vmvmvmpppp1n2
2、1 nnvvvmmm,.,.,2121的的质质点点,速速度度分分别别为为设设niiiiivmpp1一、动一、动 量量讨论讨论二、质点的动量定理二、质点的动量定理由牛顿第二定律由牛顿第二定律tpFdd tFd表示力的时间累积,叫时间表示力的时间累积,叫时间d t 内内合外力合外力 的冲量的冲量。FtFIdd 1)微分形式:)微分形式:2)积分形式:)积分形式:21dtttFI若为恒力:若为恒力:tFI 1、冲量冲量2、动量定理动量定理ptFdd 1)微分形式:微分形式:ptFdd 2)积分形式:积分形式:2121ppttptFdd对上式积分,对上式积分,在一个过程中,质点所受合外力的冲量等于质点
3、动量的增量。在一个过程中,质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。ptFtt 21d 动量定理的积分式动量定理的积分式即:即:1、反映了过程量与状态量的关系。、反映了过程量与状态量的关系。同向。同向。与与、pI 23、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。3、动量定理分量形式、动量定理分量形式xxttxxpptFI1221d yyttyypptFI1221d zzttzzpptFI1221d 系统所受合外力的冲系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分于系统动量在该方向上分量的增量。量的增量。在直角坐标系中,动量定理的在直角坐标系中,动量定理的分量式分量式
4、为为 说明说明1)冲力冲力:碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时间极短时间极短,相互作用,相互作用力力 很大很大,而且往往,而且往往随时间变化随时间变化,这种力通常称为,这种力通常称为冲力冲力。tptpptttFFtt 121221d若冲力很大若冲力很大,其它外力可忽略时其它外力可忽略时,则:则:若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时,则则 是合外力的平均。是合外力的平均。F2)平均冲力平均冲力:冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即:即:tpF 4、动量定理的应用、动量定理的应用 1t2toFtF 三、质点系的动力学方程质点系的动力学方程由两个质点组成的质点系:由
5、两个质点组成的质点系:tppFFd)d(2121 N 个质点组成的质点系:个质点组成的质点系:NiNiiptF1i1ddtpfFmdd:1111 tpfFmdd:2222 021 ff即即质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。质点系的动力学方程质点系的动力学方程tpFdd 内力可以改变一个质点的动量,但对系统总动量的改内力可以改变一个质点的动量,但对系统总动量的改变无贡献。变无贡献。1f2F1F2m1m2f说明说明1、微分形式:、微分形式:ptFdd 动量定理的微分式动量定理的微分式 在一个过程中,系统所受合外力的冲量等于系统在在一个过程中,系统所受合
6、外力的冲量等于系统在同一时间内动量的增量。同一时间内动量的增量。2、积分形式:积分形式:2121ddppttptF由由 得:得:tpFdd 对上式积分,对上式积分,ptFItt 21d动量定理的积分式动量定理的积分式四、质点系的动量定理四、质点系的动量定理3、动量定理分量形式动量定理分量形式xxttxxpptFI1221d yyttyypptFI1221d zzttzzpptFI1221d 在直角坐标系中,动量定理的分量式为在直角坐标系中,动量定理的分量式为 22dtttFI 系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量
7、。量在该方向上分量的增量。例题例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节,以减轻与地面的人在跳跃时都本能地弯曲关节,以减轻与地面的撞击力。撞击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面,将会发生什么情况?若有人双腿绷直地从高处跳向地面,将会发生什么情况?解解 设人的质量为设人的质量为M,从高,从高h 处跳向地面,落地的速率为处跳向地面,落地的速率为v0,与地面碰撞的时间为,与地面碰撞的时间为t,重心下移了重心下移了s 。由由动量定理动量定理得得:tpptttFFtt121221d设人落地后作设人落地后作匀减速运动匀减速运动到静止,则:到静止,则:02vst sMvF220 ghv220 shMgF 设人从
8、设人从 2m 处跳下,重心下移处跳下,重心下移 1cm,则:,则:MgshMgF200 可能发生骨折。可能发生骨折。讨论讨论tMvF0asvv,atvv22020设人设人的体重为的体重为70 kg70 kg,此时平均冲力,此时平均冲力:(N)1037.12008.9705 FvFmmd 解解 选取车厢和车厢里的煤选取车厢和车厢里的煤 m 和即将落和即将落 入车厢的煤入车厢的煤 d m 为研究对象。为研究对象。取水平向右为正。取水平向右为正。t 时刻系统的水平总动量:时刻系统的水平总动量:mvmmv 0dt+dt 时刻系统的水平总动量时刻系统的水平总动量:vmmmvmv)d(d dt 时间内水平
9、总动量的增量:时间内水平总动量的增量:mvmvvmmpd)d(d 由动量定理得:由动量定理得:mvptFddd )N(15003500dd vtmF 例题例题4-2 一辆装煤车以一辆装煤车以v=3m/s 的速率从煤斗下面通过,每秒落入车厢的煤为的速率从煤斗下面通过,每秒落入车厢的煤为m=500 kg。如果使车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?如果使车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力拉车厢?(摩擦忽略不计(摩擦忽略不计)4.2 动量守恒定律动量守恒定律知,知,由由tpFdd 时时当当0 F0dd tp动量守恒定律动量守恒定律,0 iF2、有以下几种情况:有以下几种情况:不受外力。不受外
10、力。C p则:则:C11 iNiiNiivmp即即系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变。外力矢量和为零。外力矢量和为零。1、并不意味着每个质点的动量是不变的。并不意味着每个质点的动量是不变的。CpF 时时,0注意注意3、各速度应是相对同一惯性参考系各速度应是相对同一惯性参考系。4、动量守恒定律比牛顿运动定律更基本,应用更广泛。、动量守恒定律比牛顿运动定律更基本,应用更广泛。常常量量 xxpF0常量常量 yypF0常常量量 zzpF0 内力内力 外力。外力。内力使系统内质点交换动量,但不影响系统总动量。内力使系统内质点交换动量,但不影响系统总动量
11、。若系统所受的合外力虽然不为零若系统所受的合外力虽然不为零,但合外力在某一但合外力在某一 方向的分量为零方向的分量为零,则系统在该方向上动量守恒。即:则系统在该方向上动量守恒。即:例题例题4-3 质量为质量为m1,仰角为,仰角为 的炮车发射了一枚质量为的炮车发射了一枚质量为m2 的的炮弹,炮弹发射时相对炮身的速率为炮弹,炮弹发射时相对炮身的速率为u,不计摩擦不计摩擦。求求 1)炮弹出口时炮车的速率)炮弹出口时炮车的速率v1 。2)发射炮弹过程中,炮车移动的距离)发射炮弹过程中,炮车移动的距离(炮身长为炮身长为L )。解解 1)选炮车和炮弹为系统,地面为参考系,选坐标系如图。)选炮车和炮弹为系统
12、,地面为参考系,选坐标系如图。gm2Lu由由x 方向的动量守恒可得:方向的动量守恒可得:02211 xvmvm由相对速度:由相对速度:12vuv 得:得:12cosvuvx 0)cos(1211 vumvm gm1N水平方向不受外力,系统总动量沿水平方向不受外力,系统总动量沿 x 分量守恒。分量守恒。设炮弹相对地面的速度为设炮弹相对地面的速度为v2 。yxO车车 对对 地地弹弹 对对 车车弹弹 对对 地地vuv 解得:解得:cos2121ummmv “”号表示炮车反冲速度与号表示炮车反冲速度与x 轴正向相反。轴正向相反。2)若以)若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻,炮弹相对炮表示炮弹在发
13、射过程中任一时刻,炮弹相对炮 车的速率,则此时炮车相对地面的速率车的速率,则此时炮车相对地面的速率 cos)()(2121tummmtv 设炮弹经设炮弹经 t 秒出口,在秒出口,在 t 秒内炮车沿水平方向移动了:秒内炮车沿水平方向移动了:ttttummmttvS021201d)(cosd)(cos212LmmmS 例题例题4-4 光滑水平面与半径为光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接,两滑块的竖直光滑半圆环轨道相接,两滑块A,B的质量均的质量均为为m,弹簧的倔强系数为弹簧的倔强系数为k,其一端固定在,其一端固定在O点,另一端与滑块点,另一端与滑块A接触,开始时滑块接触,开始时滑块B静止
14、于半圆环轨道的底端,今用外力推滑块静止于半圆环轨道的底端,今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离使弹簧压缩一段距离x后再释放,滑块后再释放,滑块A脱离弹簧后与脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞,碰后作完全弹性碰撞,碰后B将沿半圆环轨道上升,升到将沿半圆环轨道上升,升到C点与轨道脱点与轨道脱离,离,OC与竖直方向成与竖直方向成60,求弹簧被压缩的距离,求弹簧被压缩的距离x.OOABC x解:解:设滑块设滑块A离开弹簧时速度为离开弹簧时速度为v,在弹簧在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒恢复原形的过程中机械能守恒222121mvkx A脱离弹簧后速度不变,与脱离弹簧后速度不变,与B作完全弹性碰撞,交换速度,作
15、完全弹性碰撞,交换速度,A静止,静止,B以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上运动时,它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时,它与地球系统的机械能守恒2221121)cos(mvmgRmv当滑块当滑块B B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C C点时,满足点时,满足 Rmvmg2cos联立求解可得联立求解可得 kmgRx27 OOABC x 例题例题4-5 两个带理想弹簧缓冲器的小车两个带理想弹簧缓冲器的小车A 和和 B,质量分别为,质量分别为m1、m2,B不动,不动,A 以速度以速度 与与B 碰撞,已知两车的的倔强系数分别为碰撞,已知两车的的倔强系数分别为k1、k
16、2,在不计摩擦的情况下,求,在不计摩擦的情况下,求两车相对静止时,其间的作用力为多少?两车相对静止时,其间的作用力为多少?0vA1m0vB2m2k1k解解 以两小车为研究对象。以两小车为研究对象。其碰撞过程中,系统的机械能守恒;其碰撞过程中,系统的机械能守恒;动量守恒。动量守恒。vmmvm)(2101 2222112212012121)(2121xkxkvmmvm 由牛顿第三定律:由牛顿第三定律:2211xkxk 2112kxkx 联立上式:联立上式:)(2121122101kkmmkkmmvx )(21212121011kkmmkkmmvxkF 例题补充例题补充 质量为质量为M 的木块在光滑
17、的固定斜面上由的木块在光滑的固定斜面上由 A 点静点静止下滑,经路程止下滑,经路程 l 到到 B 点时,木块被一水平射来的子弹击中点时,木块被一水平射来的子弹击中子弹(子弹(m、v)射入木块中,求射中后二者的共同速度。)射入木块中,求射中后二者的共同速度。解解 分为两个阶段:分为两个阶段:第一阶段:从第一阶段:从 A 运动到运动到 B,匀加速运动:,匀加速运动:sin2glvB)sin,2(202 gaalvvt 第二阶段:碰撞阶段第二阶段:碰撞阶段取木块与子弹组成的系统为研究对象,沿斜面方向,取木块与子弹组成的系统为研究对象,沿斜面方向,内力内力 外力,可用动量守恒定律求近似解。外力,可用动
18、量守恒定律求近似解。0ixiixivmvmVmMMvmvB)(cos 可解得:可解得:mMglMmvV sin2cosgmAB lv xgMN4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理一、质心一、质心N 个质点组成的系统个质点组成的系统 Njimmmm.1、位矢分别为位矢分别为 Njirrrr.1、NNNcmmmrmrmrmr .212211定义:质点系质心的位矢定义:质点系质心的位矢即即对质量连续分布的质点系对质量连续分布的质点系 Mmrrc dx1mzy Nmjmim OirMrmmrmriiNiiiNiic 11MmzzMmyyMmxxccc d,d,d在直角坐标系中:在直角坐标系中:1
19、)几何形状对称的均质物体,质心就是几何对称中心。)几何形状对称的均质物体,质心就是几何对称中心。2)有些物体的质心可能不在所求的物体上。)有些物体的质心可能不在所求的物体上。三、质心运动定理三、质心运动定理由质心位矢由质心位矢Mrmriic对对 t 求导,得:求导,得:MvmMtrmtrviiiicc dddd iivmpccvMpp 质心的动量质心的动量等于质点系的总动量等于质点系的总动量 注意注意由两个质点组成的质点系由两个质点组成的质点系2121111dd:trmfFm 2222222dd:trmfFm 021 ffN 个质点组成的质点系:个质点组成的质点系:22ddtrmFiii222
20、2212121ddddtrmtrmFF )(dd22 iirmtMrmtMii)(dd22 质心运动定理质心运动定理caMF FFi 22ddtrMc 1f2F1F2m1m2f上一张幻灯片 例题例题4-6 一长为一长为L,密度分布不均匀的细杆,其质量线密度,密度分布不均匀的细杆,其质量线密度 ,为常量,为常量,x 从轻端算起,求其质心。从轻端算起,求其质心。Lx0 0 解解 取细杆的左端为坐标原点,在取细杆的左端为坐标原点,在距离坐标原点为距离坐标原点为 x 处取微元处取微元 d x。xLxxmddd0 LxLxmML00021dd LMxLxMmxxLc32dd002 oxmdx 例题补充例
21、题补充 如图所示,浮吊的质量如图所示,浮吊的质量M=20 t,从岸上吊起从岸上吊起m=2 t的重物后,再将的重物后,再将吊杆与竖直方向的夹角吊杆与竖直方向的夹角由由600转到转到300,设杆长,设杆长l=8 m,水的阻力与杆重略而不计,水的阻力与杆重略而不计,求浮吊在水平方向上移动的距离。求浮吊在水平方向上移动的距离。取质心为坐标原点。设取质心为坐标原点。设 在由在由600 转到转到300 时,吊车在时,吊车在水平方向上移动的距离为水平方向上移动的距离为x1,重物移动的距离为重物移动的距离为x2。解解 取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系统所受的合外
22、力为零,质点系的质心保持原来的静止位统所受的合外力为零,质点系的质心保持原来的静止位置不动。置不动。ObamM cxl0600 mMmbMaxC在在=60 0 时时0 mbMa060sinlba 0)(12 xxmmbMa02130sin)(lxxba m266.0)30sin60(sin001 mMmlx在在=30 0 时:时:0)()(21 mMxbmxaMxC0)(12 xxmObamMcxl0302x1x0604.4 角动量定理角动量定理 sinmvrL 大小:大小:方向:由方向:由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。SI 中中:kgm 2/s质点的角动量与质点的角动量与参考点的选择参
23、考点的选择有关。有关。定义定义:r质量为质量为m的质点以速度在空间运动,某时刻对的质点以速度在空间运动,某时刻对O 点的位矢为点的位矢为 ,则,则它它对对O 点的角动量点的角动量(动量矩动量矩)为为:vrxyzom vvrL一、角动量一、角动量vmrprL1)矢量性矢量性2)相对性)相对性 原点原点O 选取的不同,则位置矢量不同,角动选取的不同,则位置矢量不同,角动量也不同。量也不同。1、质点角动量、质点角动量yzxzPyPLzxyxPzPLzyxPPPzyxkjiPrLxyzyPxPL 3)的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式L4)两个特例)两个特例做圆周运动质点做圆周运动质点 m
24、对圆心对圆心O 的角动量的角动量vmrL 2rmmvrL 大大小小:rvOmzL方向:方向:与与 同向,垂直于转动平面,同向,垂直于转动平面,与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系。右手螺旋关系。L L做做匀速率圆周运动匀速率圆周运动的质点的质点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。做直线运动质点的角动量做直线运动质点的角动量 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。vmrprL 大小:大小:sinmvrL 方向:由右手螺旋定则确定。方向:由右手螺旋定则确定。t时刻质点对时刻质点对O点的角动量为:点的角动量为:vmrprL 大小:大小:2 sinrvmL 方向:与方向:
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