第二十二届华杯赛决赛解析.doc

1、第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题小学中年级组一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1. 在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这2017 个数中有个三位数。【答案】2016【考点】抽屉原理的基础：最不利原则【启智数学春季班四年级第 8 讲内容】【解析】假设这些自然数中有 2 个数不满足三位数的条件，则与“任意两个数至少有一个三位数”相矛盾，因此只有 1 个数不是三位数，三位数有：2017-1=2016（个）2. 如下图（1）所示，一个棋子从 A 到 B 只能沿着横平竖直的路线，在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子

2、数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方。如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中 x 代表的数字为。134411223A2 Ax211B3（1）4B（2）【答案】2【考点】平面图形找规律【启智数学秋季班三年级第 6 讲内容】【解析】每个格子都在某一行某一列上，所以行上的数字和与列上的数字和相等，故：x=（1+3+4+4+1）-（3+1+3+4）=13-11=2（路线如上图）123.用x表示不超过 x 的最大整数，例如10.2=10，则：20173 + 20174 + 20175 + 20176 + 20177 + 20178等于。1111111111

3、11【答案】6048【考点】定义新运算【启智数学春季班五年级第 15 讲内容】20173 20178 2017（3+8）【解析】 11 + 11 =11= 2017又x表示不超过 x 的最大整数，所以2017311 + 2017811 = 2017 1 = 2016原式=20163=6048.4.盒子里有一些黑球和白球，将黑球数量变成原来的 5 倍，总的球数将会变成原来的 2 倍。如果将白球数量变成原来的 5 倍，则总的球数将会变成原来的倍。【答案】4【考点】倍数关系【启智数学春季班四年级第 6 讲内容】【解析】黑球数量变成原来的 5 倍：5 黑+白=2（黑+白）白=3 黑白球数量变成原来的

4、5 倍：（黑+5 白）（黑+白）=（黑+53 黑）（黑+3 黑）=164=45.能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有个。【答案】5【考点】位值原理【启智数学春季班四年级第 3 讲内容】【解析】奇奇=奇，因此数字和为奇数，又各位为奇数，因此十位只能为偶数。经过枚举发现，满足条件的两位数有：21,27,45,63,81，共 5 个。6.如右图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形。正方形边长和三角形直角边长都是整数。若剪去部分的总面积为 40 平方厘米，则长方形的面积是 平方厘米。【答案】24【考点】图形的割补法【启智数学暑假班四年级第 6 讲内容】【解析

5、】设边长分别是 a 和 b，则 a2+b2=40b经枚举知：22+62=40所以，长方形面积=（2+6）2-40=24（平方厘米）。2a 7.小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场，从家到商店距离是 500 米，用了 7 分钟；从商店到游乐场以 80 米/分钟的速度要走 8 分钟；从游乐场到学校的距离是 300 米，走的速度是 60 米/分钟。那么小龙从家到学校的平均速度是米/分钟。【答案】72【考点】平均数【启智数学秋季班四年级第 7 讲内容】【解析】平均速度=总路程总时间=（500+808+300）（7+8+30060）=144020=72（米/分钟）8.亚瑟王在王宫中召见 6 名骑

6、士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 名朋友。他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如右图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友。亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有 种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）。【答案】6【考点】乘法原理【启智数学春季班四年级第 14 讲内容】【解析】从兰斯洛特开始，按逆时针顺序标上字母 ABCDEF 以及数字123456，题目意思为：重新排序之后，相邻字母不能在一起，用 A 来定位，若 A 在 1 号位，那么 B,F 只能在 345 号位，共有 32=6 种方式，而每一种方式定下来之后，剩下的 CDE 均只有

7、1 种排列方式（或用枚举法）。故答案为 6 种。AF16B25C34D二、简答题（每小题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9.如右图所示，两个边长为 6 的正方形 ABFE 和 CDEF 拼成长方形ABCD。G 为 DE 的中点，连接 BG 交 EF 于 H。求图中五边形 CDGHF 的面积。【答案】6【考点】图形分割【启智数学暑假班四年级第 6 讲内容】【解析】按图示分割，得出每个小长方形的面积为：666=6五边形 CDGHF 的面积=66-62=33AEGDHBFC10.乌龟和兔子进行 1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到

8、某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 10 米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？【答案】802【考点】追及问题3【启智数学春季班四年级第 10 讲内容】【解析】兔子最后还差 10 米到达，假设兔子跑这 10 米需要 t 分钟，则她跑完 1000 米需要 100t 分钟，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，乌龟跑完全程需要 500t 分钟。实际上兔子跑了 100t-t=99t 分钟，睡了 500t-99t=401t 分钟。这 401t 分钟内，乌龟跑了 401t500t1000=804（米）11.如右图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的

9、直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？【答案】27【考点】图形计数【启智数学暑假班四年级第 7 讲内容】【解析】边长为 1 的正六边形：边长为 2 的正六边形：3+4+5+4+3=19（个）2+3+2=7（个）边长为 3 的正六边形：1 个，总共 19+7+1=27（个）12.如右图，将 1 至 9 这九个数字填入网格中，要求每个格子填一个数字，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍，已知左右格子已经填有数字 4 和 5，4x5那么标有字母 x 的格子可以填的数字

10、最大是多少？【答案】6【考点】数阵图【启智数学秋季班四年级第 8 讲内容】【解析】x=6 是可行的，4 上面放 7，下面放 1，5 上面放 8，下面放 2，中间从上至下分别是 3,6,9.x 与周围 6 个数的和应该是 1+2+3+6+7+8+9=36，所以 x 的可能取值为 1,2,3,6,9。这里仅需考虑 x=9 是否可行即可。考虑 2,6,8 所在的位置。4若 4 旁边的数都是偶数，那么必然是 2 和 6，考虑 2 和 6 周围的数的和必须是偶数，而 x=9，所以上下两个空格必然也是奇数，所以 8 必然在 5 旁边，且周围全是奇数，所有奇数的和1+3+5+7+9=25，去掉一个必须是 8

11、 的倍数，则只能去掉 1 或者 9，x=9，所以只能去掉 1，而 7 一定在 8 边上，而 2+8+9=19,6+8+9=23。所以 7 只能挨着 5，而 8+5+9+1=23，不是 9 的倍数。因此 4 旁边的必须是 2 个奇数。此时 8 若在最上或者最下，则周围三个数必然是奇数，奇数偶数，因此挨着 5 的那个数，必然是偶数，考虑这个数周围的和，得到挨着 5 的另外一个数也必然是偶数，所以只能是 2 和 6，而 2+6=8 不是 5 的倍数，舍掉。所以 8 不在最上面或者最下面，只能挨着 5，那么挨着 5 的另一个数只能是 2，5+9+2=116，挨着 8 的最后一个数无论如何取值均不可能使得四个数的和是 8 的倍数。故 x 不可能等于 9.综上所述，x 最大值为 6.5