小升初之数论篇.doc
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1、小升初之数论篇数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数(1)数的奇偶性奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数奇数个奇数相加=奇数 偶数个奇数相加=偶数奇数奇数=奇数  
2、;偶数偶数=偶数 奇数偶数=偶数只要式子中含有偶数,那么相乘结果就是偶数(2)数的整除,常见的数的整除特征2:个位是偶数3:各个数位之和是3的倍数5:个位是 0和54、25:后两位可以被4(25)整除8、125:后三位可以被8(125)整除9:各个数位之和是9的倍数7:一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13327,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:61392595 , 595249,所
3、以6139是7的倍数。11:奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数。13:一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差,可以被13整除即可被13整除。17:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。(3)余数的性质1.余数的可加性:和的余数等于余数的和。2.余数的可减性:差的余数等于余数的差。3.余数的可乘性:积得余数等于余数的积。4.同余的性质:对于同一个余数,如果有两个整数余数相同,那么它们的差就一定能被这个除数整除。对于同一个除数,如果有两个整数余数相同,那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。小
4、试牛刀1 (05年人大附中考题)有_个四位数满足下列条件:它的各位数字都是奇数;它的各位数字互不相同;它的每个数字都能整除它本身。 2 (05年101中学考题)如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零,那么所得的三位数是原来的数的9倍,问这个两位数是。
5、 3 (05年首师附中考题)+=。 4 (04年人大附中考题)甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足:甲甲=乙+乙=丙135那么甲最小是_。5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( &n
6、bsp;)A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】1 【解】:62 【解】:设原来数为ab,这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得:100a+b=9(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=
7、4,b=5,所以原来的两位数为45。3 【解】:周期性数字,每个数约分后为+=14 【解】:题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数(乙+乙),这样我们分解135=5333,所以丙最小应该是2253,所以甲最小是:2335=90。5 【解】:八进制数是由除以8的余数得来的,不可能出现8,所以答案是D。四、典型例题解析1 数的整除【例1】()将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数(4321=24)。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数;按从大到小排列的话,第二个
8、是不能被4整除的偶数;按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。【解】:不妨设这4个数字分别是a>b>c>d那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数;所以c是偶数,cb=5,c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4;因为a>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍数,和
9、条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。【例2】()一个5位数,它的各个位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数?思路:现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手【解】:5位数数字和最大的为95=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8。这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989符合条
10、件。【例3】()由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?【解】:各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大,首位必须是8,第2位是7,14-8=6那么第3位一定是5,第5位为1该数最大为875413。拓展:一个三位数,它由0,1,2,7,8组成,且它能被9整除,问满足条件的总共有几个? 【例4】()一个学校参加兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7 ,女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人?
11、 【来源】:06年理工附入学测试题【解】:男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7,这样女生的范围在2/53/7之间,同理可得男生在4/73/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在28/7030/70之间,所以只能是29人,这样男生为41人。2 质数与合数(分解质因数) 【例5】()20056843
12、75最后4位都是0,请问里最小是几?【解】:先分析123410的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多,这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意:5的倍数能分解一个5,25的倍数分解出2个5,125的倍数能分解出3个5最终转化成计数问题,如5的倍数有10/5=2个。2005=5401 684=22171 375=3555前三个数里有2个质因子2,4个质因子5,要使得乘积的最后4位都是0应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子。因此里最小是4。拓展:200568
13、4375最后4位都是0,且是7的倍数,问里最小是_【例6】()03 年101中学招生人数是一个平方数,04年由于信息发布及时,04年的招生人数比03年多了101人,也是一个平方数,问04年的招生人数?【解】:看见两个平方数,发现跟平方差相关,这样我们大胆的设03年的为A,04年的为B,从中我们发现04年的比03年多101人,这样我们可以列式子B- A=101此后思路要很顺,因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开,所以B- A=(A+B)(A-B)=101,可见右边的数也要分成2个数的积,还得考虑同奇偶性,但101是个质数,所以101只能分成1011,这样A+B=101,A-B=1,所以A=
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