2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷)理.docx

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准

2、使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。参考公式:台体的体积公式V=13(S1+S1S2+S2)h,其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013广东,理1)设集合M=x|x2+2x=0,xR,N=x|x2-2x=0,xR,则MN=(). A.0B.0,2C.-2,0D.-2,0,2答案:D解析:

3、M=-2,0,N=0,2,MN=-2,0,2.2.(2013广东,理2)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是().A.4B.3C.2D.1答案:C解析:y=x3,y=2sin x为奇函数;y=x2+1为偶函数;y=2x为非奇非偶函数.所以共有2个奇函数,故选C.3.(2013广东,理3)若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是().A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)答案:C解析:由iz=2+4i,得z=2+4ii=(2+4i)(-i)i(-i)=4-2i,故z对应点的坐标为(4,-2).4.(20

4、13广东,理4)已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)=().A.32B.2C.52D.3答案:A解析:E(X)=135+2310+3110=1510=32.5.(2013广东,理5)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是().A.4B.143C.163D.6答案:B解析:方法一:由三视图可知,原四棱台的直观图如图所示,其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形,且DD1面ABCD,上底面面积S1=12=1,下底面面积S2=22=4.又DD1=2,V台=13(S1+S1S2+S2)h=13(1+14+4)2=143.方法二:由四棱台的三视图,可知原四

5、棱台的直观图如图所示.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1都为正方形,AB=2,A1B1=1,且D1D平面ABCD,D1D=2.分别延长四棱台各个侧棱交于点O,设OD1=x,因为OD1C1ODC,所以OD1OD=D1C1DC,即xx+2=12,解得x=2.VABCD-A1B1C1D1=V棱锥O-ABCD-V棱锥O-A1B1C1D1=13224-13112=143.6.(2013广东,理6)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是().A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则答案:D解析

6、:选项A中,m与n还可能平行或异面,故不正确;选项B中,m与n还可能异面,故不正确;选项C中,与还可能平行或相交,故不正确;选项D中,m,mn,n.又n,.故选D.7.(2013广东,理7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则C的方程是().A.x24-y25=1B.x24-y25=1C.x22-y25=1D.x22-y25=1答案:B解析:由曲线C的右焦点为F(3,0),知c=3.由离心率e=32,知ca=32,则a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线C的方程为x24-y25=1.8.(2013广东,理8)设整数n4,集合X=1,2,3,n,令集合S

7、=(x,y,z)|x,y,zX,且三条件xyz,yzx,zxy恰有一个成立.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是().A.(y,z,w)S,(x,y,w)SB.(y,z,w)S,(x,y,w)SC.(y,z,w)S,(x,y,w)SD.(y,z,w)S,(x,y,w)S答案:B解析:由(x,y,z)S,不妨取xyz,要使(z,w,x)S,则wxz或xzw.当wxz时,wxyz,故(y,z,w)S,(x,y,w)S.当xzw时,xyzw,故(y,z,w)S,(x,y,w)S.综上可知,(y,z,w)S,(x,y,w)S.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5

8、分,满分30分.(一)必做题(913题)9.(2013广东,理9)不等式x2+x-20的解集为.答案:x|-2x1解析:x2+x-20即(x+2)(x-1)0,解得-2x1,故原不等式的解集为x|-2x4,故s=7.12.(2013广东,理12)在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=.答案:20解析:因为数列an的等差数列,所以由等差数列的性质得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10.所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=210=20.13.(2013广东,理13)给定区域D:x+4y4,x+y4,x0.令点集T=(x0,y0)D|x0,y0Z,(x

9、0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定条不同的直线.答案:6解析:由区域D:x+4y4,x+y4,x0,画出可行域如图所示.满足条件的(x0,y0)有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故T中的点共确定6条不同的直线.(二)选择题(1415题,考生只能从中选做一题)14.(2013广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为x=2cost,y=2sint(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.答案:sin+4=2解析:曲线C的参数方程为x

10、=2cost,y=2sint(t为参数),其普通方程为x2+y2=2.又点(1,1)在曲线C上,切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为cos +sin =2,即sin+4=2.15.(2013广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=.答案:23解析:连接OC.AB为圆O的直径,ACBC.又BC=CD,AB=AD=6,BAC=CAD.又CE为圆O的切线,则OCCE.ACE为弦切角,ACE=B.ACE+CAD=90.CEAD.又ACCD,CD2=EDAD

11、=26=12,即CD=23.BC=23.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(2013广东,理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosx-12,xR.(1)求f-6的值;(2)若cos =35,32,2,求f2+3.解:(1)f-6=2cos-6-12=2cos-4=2cos 4=1.(2)f2+3=2cos2+3-12=2cos2+4=cos 2-sin 2.因为cos =35,32,2,所以sin =-45.所以sin 2=2sin cos =-2425,cos 2=cos2-sin2=-725.所以f2+3=cos 2-sin

12、 2=-725-2425=1725.17.(2013广东,理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值;(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.解:(1)样本均值为17+19+20+21+25+306=1326=22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26=13,故推断该车间12名工人中有1213=4名优秀工人.(3)设事件A:从该车间12名工人中,任取2

13、人,恰有1名优秀工人,则P(A)=C41C81C122=1633.18.(2013广东,理18)(本小题满分14分)如图(1),在等腰直角三角形ABC中,A=90,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=2,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图(2)所示的四棱锥ABCDE,其中AO=3.图(1)图(2)(1)证明:AO平面BCDE;(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值.解:(1)由题意,得OC=3,AC=32,AD=22.如图,连结OD,OE,在OCD中,由余弦定理可得OD=OC2+CD2-2OCCDcos45=5.由翻折不变性可知AD=22,所以AO2+OD2=AD2,

14、所以AOOD.同理可证AOOE,又ODOE=O,所以AO平面BCDE.(2)传统法:过O作OHCD交CD的延长线于H,连结AH,因为AO平面BCDE,所以AHCD.所以AHO为二面角ACDB的平面角.结合题图(1)可知,H为AC中点,故OH=322,从而AH=OH2+OA2=302,所以cosAHO=OHAH=155.所以二面角A-CD-B的平面角的余弦值为155.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.则A(0,0,3),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以CA=(0,3,3),DA=(-1,2,3).设n=(x,y,z)为平面ACD的法向量,则nCA=0,nDA

15、=0,即3y+3z=0,-x+2y+3z=0,解得y=-x,z=3x.令x=1,得n=(1,-1,3).由(1)知,OA=(0,0,3)为平面CDB的一个法向量,所以cos=nOA|n|OA|=353=155,即二面角A-CD-B的平面角的余弦值为155.19.(2013广东,理19)(本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1,2Snn=an+1-13n2-n-23,nN*.(1)求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1+1a2+1an74.解:(1)依题意,2S1=a2-13-1-23,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n2时,2S

16、n=nan+1-13n3-n2-23n,2Sn-1=(n-1)an-13(n-1)3-(n-1)2-23(n-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-13(3n2-3n+1)-(2n-1)-23,整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即an+1n+1-ann=1.又a22-a11=1,故数列ann是首项为a11=1,公差为1的等差数列,所以ann=1+(n-1)1=n.所以an=n2.(3)当n=1时,1a1=174;当n=2时,1a1+1a2=1+14=5474;当n3时,1an=1n21(n-1)n=1n-1-1n,此时1a1+1a2+1an=1+14+132+142

17、+1n21+14+12-13+13-14+1n-1-1n=1+14+12-1n=74-1n74.综上,对一切正整数n,有1a1+1a2+1an0)到直线l:x-y-2=0的距离为322.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由|0-c-2|2=322,结合c0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=14x2,求导得y=1

18、2x,设A(x1,y1),B(x2,y2)其中y1=x124,y2=x224,则切线PA,PB的斜率分别为12x1,12x2,所以切线PA的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x12x-x122+y1,即x1x-2y-2y1=0,同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|BF|=(y1

19、+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.联立方程x0x-2y-2y0=0,x2=4y,消去x整理得y2+(2y0-x02)y+y02=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02,所以|AF|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y02+x02-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.所以y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=2y0+122+92.所以当y0=-12时,|AF|BF|取得最小值,且最小值为92.21.(2013广东,理21)(本小题满分14分)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(kR).(1)

20、当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k12,1时,求函数f(x)在0,k上的最大值M.解:(1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2,f(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f(x)=0,得x1=0,x2=ln 2,当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表:x(-,0)0(0,ln 2)ln 2(ln 2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值由表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-,0),(ln 2,+).(2)f(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k),令f(x)=0,得x1=0,x

21、2=ln(2k),令g(k)=ln(2k)-k,k12,1,则g(k)=1k-1=1-kk0,所以g(k)在12,1上单调递增.所以g(k)ln 2-1=ln 2-ln e0.从而ln(2k)k,所以ln(2k)(0,k).所以当x(0,ln(2k)时,f(x)0;所以M=maxf(0),f(k)=max-1,(k-1)ek-k3.令h(k)=(k-1)ek-k3+1,则h(k)=k(ek-3k),令(k)=ek-3k,则(k)=ek-3e-30.所以(k)在12,1上单调递减,而12(1)=e-32(e-3)0,当k(x0,1)时,(k)0,h(1)=0,所以h(k)0在12,1上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”.综上,函数f(x)在0,k上的最大值M=(k-1)ek-k3.