2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)文.docx

1、辽宁文科1.(2012辽宁,文1)已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若ab=1,则x=().A.-1B.-C.D.1D由ab=1,得12-1x=1,解得x=1,故选D.2.(2012辽宁,文2)已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=0,1,3,5,8,集合B=2,4,5,6,8,则(UA)(UB)=().A.5,8B.7,9C.0,1,3D.2,4,6B由已知可得,UA=2,4,6,7,9,UB=0,1,3,7,9,于是(UA)(UB)=7,9,故选B.3.(2012辽宁,文3)复数=().A.-iB.+iC.1-iD.1+iA=-i,故选A.4.(2012辽宁,

2、文4)在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10=().A.12B.16C.20D.24B由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选B.5.(2012辽宁,文5)已知命题p:x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,则􀱑p是().A.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0B.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0C.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0D.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0),令解得x(0,1.因此函数y=x2-ln x的单调递减区间为(0,1.故选B

3、.9.(2012辽宁,文9)设变量x,y满足则2x+3y的最大值为().A.20B.35C.45D.55D作出可行域如图所示.令z=2x+3y,则y=-x+z,要使z取得最大值,则需求直线y=-x+z在y轴上的截距的最大值,移动直线l0:y=-x,可知当l0过点C(5,15)时,z取最大值,且zmax=25+315=55,于是2x+3y的最大值为55.故选D.10.(2012辽宁,文10)执行如图所示的程序框图,则输出的S值是().A.4B.C.D.-1D初始:S=4,i=1,第一次循环:16,S=-1,i=2;第二次循环:26,S=,i=3;第三次循环:36,S=,i=4;第四次循环:46,

4、S=4,i=5;第五次循环:56,S=-1,i=6.60,且2(an+an+2)=5an+1,则数列an的公比q=.2等比数列an为递增数列,且a10,公比q1.又2(an+an+2)=5an+1,2an+2anq2=5anq.an0,2q2-5q+2=0.q=2或q=(舍去).公比q为2.15.(2012辽宁,文15)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点.若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.2设|PF1|=m,|PF2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2,m2+n2=4c2=8,故mn=2,(|PF1|+|PF2|)2=(m

5、+n)2=(m-n)2+4mn=4+42=12,于是|PF1|+|PF2|=2.16.(2012辽宁,文16)已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA=2,则OAB的面积为.3如图所示,PA平面ABCD,PAAC.故可知PC为球O直径,则PC的中点为O,取AC的中点为O,则OO=PA=,又AC=2,PA=2,PC=4,球半径R=2,故OC=OA=OB=2,又AB=2,OAB为等边三角形.SOAB=22sin 60=3.17.(2012辽宁,文17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(1)求cos

6、B的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin Asin C的值.解:(1)由已知2B=A+C,A+B+C=180,解得B=60,所以cos B=.(2)方法一:由已知b2=ac,及cos B=,根据正弦定理得sin2B=sin Asin C,所以sin Asin C=1-cos2B=.方法二:由已知b2=ac,及cos B=,根据余弦定理得cos B=,解得a=c,所以B=A=C=60,故sin Asin C=.18.(2012辽宁,文18)如图,直三棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC=,AA=1,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;(2)求三棱锥A-MN

7、C的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)(1)证法一:连结AB,AC,由已知BAC=90,AB=AC,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,所以M为AB中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.证法二:取AB中点P,连结MP,NP.而M,N分别为AB与BC的中点,所以MPAA,PNAC,所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,因此MN平面AACC.(2)解法一:连结BN,由题意ANBC,平面ABC平面BBCC=BC,所以AN平面NBC.又AN=BC=1,故VA

8、-MNC=VN-AMC=VN-ABC=VA-NBC=.解法二:VA-MNC=VA-NBC-VM-NBC=VA-NBC=.19.(2012辽宁,文19)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.(1)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育

9、迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.附:2=.P(2k)0.050.01k3.8416.635解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”为25人,从而完成22列联表如下:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算,得2=3.030.因为3.0303.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为5人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为=(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1

10、),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2).其中ai表示男性,i=1,2,3.bj表示女性,j=1,2.由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“任选2人中,至少有1人是女性”这一事件,则A=(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),事件A由7个基本事件组成,因而P(A)=.20.(2012辽宁,文20)如图,动圆C1:x2+y2=t2,1t3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?

11、并求出其最大面积;(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解:(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0|y0|.由+=1得=1-,从而=-+.当=,=时,Smax=6.从而t=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6.(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知直线AA1的方程为y=(x+3),直线A2B的方程为y=(x-3),由得y2=(x2-9).又点A(x0,y0)在椭圆C上,故=1-.将代入得-y2=1(x-3,y0).因此点M的轨迹方程为-y2=1(x-3,y1时,f(x)(x-1);(2)当1x3时,f(x)1时,g(x

12、)=+-0.又g(1)=0,有g(x)0,即f(x)1时,2x+1,故+.令k(x)=ln x-x+1,则k(1)=0,k(x)=-10.故k(x)0,即ln x1时,f(x)(x-1).(2)证法一:记h(x)=f(x)-.由(1)得h(x)=+-=-=.令g(x)=(x+5)3-216x.则当1x3时,g(x)=3(x+5)2-2160,因此g(x)在(1,3)内是递减函数.又由g(1)=0,得g(x)0,所以h(x)0,因此h(x)在(1,3)内是递减函数.又h(1)=0,得h(x)0.于是当1x3时,f(x).证法二:记h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),则当1x3时,由(1)得h(x)=f(x)+(x+5)f(x)-9(x-1)+(x+5)-9=3x(x-1)+(x+5)(2+)-18x=(7x2-32x+25)0,因此h(x)在(1,3)内单调递减.又h(1)=0,所以h(x)0,即f(x)0时,-x,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f,则h(x)=所以|h(x)|1,因此k1.