2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(安徽卷)理.docx

1、安徽理科本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第1至第2页,第卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5

2、毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.参考公式:如果事件A与B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013安徽,理1)设i是虚数单位,z是复数z的共轭复数.若zzi+2=2z,则z=(). A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:A解析:设z=a+bi(a,bR),则由zz

3、i+2=2z得(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),即(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以2a=2,a2+b2=2b,所以a=1,b=1,即z=a+bi=1+i.2.(2013安徽,理2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().A.16B.2524C.34D.1112答案:D解析:开始28,s=0+12=12,n=2+2=4;返回,48,s=12+14=34,n=4+2=6;返回,68,s=34+16=1112,n=6+2=8;返回,80as22,故选C.6.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f(x)0的解集为xx12,则f(10x)0的解集为().A.x|x-l

4、g 2B.x|-1x-lg 2D.x|x-lg 2答案:D解析:由题意知-110x12,所以xlg 12=-lg 2,故选D.7.(2013安徽,理7)在极坐标系中,圆=2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为().A.=0(R)和cos =2B.=2(R)和cos =2C.=2(R)和cos =1D.=0(R)和cos =1答案:B解析:由题意可知,圆=2cos 可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为=2(R)和cos =2,故选B.8.(2013安徽,理8)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间a

5、,b上可找到n(n2)个不同的数x1,x2,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn,则n的取值范围是().A.3,4B.2,3,4C.3,4,5D.2,3答案:B解析:f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn可化为f(x1)-0x1-0=f(x2)-0x2-0=f(xn)-0xn-0,故上式可理解为y=f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等,即n可看成过原点的直线与y=f(x)的交点个数.如图所示,由数形结合知识可得,为n=2,为n=3,为n=4.9.(2013安徽,理9)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OAOB=2,则点集P|

6、OP=OA+OB,|+|1,R所表示的区域的面积是().A.22B.23C.42D.43答案:D解析:以OA,OB为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使A,B两点关于x轴对称,由已知|OA|=|OB|=OAOB=2,可得出AOB=60,点A(3,1),点B(3,-1),点D(23,0).现设P(x,y),则由OP=OA+OB得(x,y)=(3,1)+(3,-1),即3(+)=x,-=y.由于|+|1,R,可得-3x3,-1y1,画出动点P(x,y)满足的可行域为如图阴影部分,故所求区域的面积为232=43.10.(2013安徽,理10)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c

7、有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是().A.3B.4C.5D.6答案:A解析:由f(x)=3x2+2ax+b=0得,x=x1或x=x2,即3(f(x)2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x)=x2的解.如图所示,x1x2x2x1由图象可知f(x)=x1有2个解,f(x)=x2有1个解,因此3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3.第卷(非选择题共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题

8、卡的相应位置.11.(2013安徽,理11)若x+a3x8的展开式中x4的系数为7,则实数a=.答案:12解析:x+a3x8的通项为C8rx8-rar(x-13)r=C8rarx8-rx-r3=C8rarx8-r-r3,8-r-r3=4,解得r=3.C83a3=7,得a=12.12.(2013安徽,理12)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.答案:23解析:3sin A=5sin B,3a=5b.又b+c=2a,由可得,a=53b,c=73b,cos C=b2+a2-c22ab=b2+53b2-73b2253bb=-12,C

9、=23.13.(2013安徽,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.答案:1,+)解析:如图,设C(x0,x02)(x02a),A(-a,a),B(a,a),则CA=(-a-x0,a-x02),CB=(a-x0,a-x02).CACB,CACB=0,即-(a-x02)+(a-x02)2=0,(a-x02)(-1+a-x02)=0,x02=a-10,a1.14.(2013安徽,理14)如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均

10、相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是.答案:an=3n-2解析:设SOA1B1=S,a1=1,a2=2,OAn=an,OA1=1,OA2=2.又易知OA1B1OA2B2,SOA1B1SOA2B2=(OA1)2(OA2)2=122=14.S梯形A1B1B2A2=3SOA1B1=3S.所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等,且OA1B1OAnBn,OA1OAn=SOA1B1SOAnBn=SS+3(n-1)S=13n-2.a1an=13n-2,an=3n-2.15.(2013安徽,理15)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段C

11、C1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).当0CQ12时,S为四边形当CQ=12时,S为等腰梯形当CQ=34时,S与C1D1的交点R满足C1R=13当34CQ1时,S为六边形当CQ=1时,S的面积为62答案:解析:当CQ=12时,D1Q2=D1C12+C1Q2=54,AP2=AB2+BP2=54,所以D1Q=AP,又因为AD12PQ,所以正确;当0CQ12时,截面为APQM,且为四边形,故也正确,如图(1)所示;图(1)如图(2),当CQ=34时,由QCNQC1R得C1QCQ=C1RCN,即1434=C1R1,C1R=13,故正

12、确;图(2)如图(3)所示,当34CQ0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间0,2上的单调性.解:(1)f(x)=4cos xsinx+4=22sin xcos x+22cos2x=2(sin 2x+cos 2x)+2=2sin2x+4+2.因为f(x)的最小正周期为,且0,从而有22=,故=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin2x+4+2.若0x2,则42x+454.当42x+42,即0x8时,f(x)单调递增;当22x+454,即8x2时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间0,8上单调递增,在区间8,2上单调递减.17.(2013安徽,理17)(本小题满分1

13、2分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a0,区间I=x|f(x)0.(1)求I的长度(注:区间(,)的长度定义为-);(2)给定常数k(0,1),当1-ka1+k时,求I长度的最小值.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a0)有两个实根x1=0,x2=a1+a2,故f(x)0的解集为x|x1xx2.因此区间I=0,a1+a2,I的长度为a1+a2.(2)设d(a)=a1+a2,则d(a)=1-a2(1+a2)2.令d(a)=0,得a=1.由于0k1,故当1-ka0,d(a)单调递增;当1a1+k时,d(a)0,d(a)单调递减.所以当1-ka1+k时,d(a)的最小值必定

14、在a=1-k或a=1+k处取得.而d(1-k)d(1+k)=1-k1+(1-k)21+k1+(1+k)2=2-k2-k32-k2+k31,故d(1-k)0,可解得tan 22.5=2-1,因此OC=h2-1=(2+1)h.在RtOCF中,cosCOF=OFOC=3h(2+1)h=6-3,故cosCOD=cos(2COF)=2cos2COF-1=2(6-3)2-1=17-122.20.(2013安徽,理20)(本小题满分13分)设函数fn(x)=-1+x+x222+x332+xnn2(xR,nN*).证明:(1)对每个nN*,存在唯一的xn23,1,满足fn(xn)=0;(2)对任意pN*,由(

15、1)中xn构成的数列xn满足0xn-xn+p0时,fn(x)=1+x2+xn-1n0,故fn(x)在(0,+)内单调递增.由于f1(1)=0,当n2时,fn(1)=122+132+1n20,故fn(1)0.又fn23=-1+23+k=2n23kk2-13+14k=2n23k=-13+142321-23n-11-23=-1323n-10时,fn+1(x)=fn(x)+xn+1(n+1)2fn(x),故fn+1(xn)fn(xn)=fn+1(xn+1)=0.由fn+1(x)在(0,+)内单调递增知,xn+1xn,故xn为单调递减数列,从而对任意n,pN*,xn+pxn.对任意pN*,由于fn(xn

16、)=-1+xn+xn222+xnnn2=0,fn+p(xn+p)=-1+xn+p+xn+p222+xn+pnn2+xn+pn+1(n+1)2+xn+pn+p(n+p)2=0.式减去式并移项,利用0xn+pxn1,得xn-xn+p=k=2nxn+pk-xnkk2+k=n+1n+pxn+pkk2k=n+1n+pxn+pkk2k=n+1n+p1k2k=n+1n+p1k(k-1)=1n-1n+p1n.因此,对任意pN*,都有0xn-xn+p1n.21.(2013安徽,理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责.已知该系共有n位学生

17、,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;(2)求使P(X=m)取得最大值的整数m.解:(1)因为事件A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件B:“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以A与B相互独立.由于P(A)=P(B)=Cn-1k-1Cnk=kn,故P(A)=P(B)=1-kn,因此学生甲收到活动通知信息的概率P=1-1-kn2=2kn-k2n2.(2)当k=

18、n时,m只能取n,有P(X=m)=P(X=n)=1.当kn时,整数m满足kmt,其中t是2k和n中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(Cnk)2.当X=m时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m.仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k.由乘法计数原理知:事件X=m所含基本事件数为CnkCk2k-mCn-km-k=CnkCkm-kCn-km-k.此时P(X=m)=CnkCk2k-mCn-km-k(Cnk)2=Ckm-kCn-km-kCnk.当kmt时,P(X=m)P(X=m+1)Ckm-kCn-km-kC

19、km+1-kCn-km+1-k(m-k+1)2(n-m)(2k-m)m2k-(k+1)2n+2.假如k2k-(k+1)2n+2t成立,则当(k+1)2能被n+2整除时,k2k-(k+1)2n+22k+1-(k+1)2n+2t.故P(X=m)在m=2k-(k+1)2n+2和m=2k+1-(k+1)2n+2处达最大值;当(k+1)2不能被n+2整除时,P(X=m)在m=2k-(k+1)2n+2处达最大值.(注:x表示不超过x的最大整数)下面证明k2k-(k+1)2n+2t.因为1kn,所以2k-(k+1)2n+2-k=kn-k2-1n+2k(k+1)-k2-1n+2=k-1n+20.而2k-(k+1)2n+2-n=-(n-k+1)2n+20,故2k-(k+1)2n+2n.显然2k-(k+1)2n+22k.因此k2k-(k+1)2n+2t.