2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国卷)文.docx

1、12课标全国(文)1.(2012课标全国,文1)已知集合A=x|x2-x-20,B=x|-1x1,则().A.ABB.BAC.A=BD.AB=B由题意可得,A=x|-1x2,而B=x|-1xb0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为().A.B.C.D.C设直线x=与x轴交于点M,则PF2M=60,在RtPF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60=,解得=,故离心率e=.5.(2012课标全国,文5)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在ABC内部,则z=-x+y的取值范围是(

2、).A.(1-,2)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1+)A由顶点C在第一象限且与A,B构成正三角形可求得点C坐标为(1+,2),将目标函数化为斜截式为y=x+z,结合图形可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时zmin=1-,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时zmax=2,综合可知z的取值范围为(1-,2).6.(2012课标全国,文6)如果执行下边的程序框图,输入正整数N(N2)和实数a1,a2,aN,输出A,B,则().A.A+B为a1,a2,aN的和B.为a1,a2,aN的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,aN中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,aN中最小

3、的数和最大的数C随着k的取值不同,x可以取遍实数a1,a2,aN,依次与A,B比较,A始终取较大的那个数,B始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A,B分别是这N个数中的最大数与最小数,故选C.7.(2012课标全国,文7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为().A.6B.9C.12D.18B由三视图可推知,几何体的直观图如右图所示,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC平面ACB,故所求几何体的体积为3=9.8.(2012课标全国,文8)平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为().A

4、.B.4C.4D.6B设球O的半径为R,则R=,故V球=R3=4.9.(2012课标全国,文9)已知0,0,直线x=和x=是函数f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴,则=().A.B.C.D.A由题意可知函数f(x)的周期T=2=2,故=1,f(x)=sin(x+).令x+=k+,将x=代入可得=k+,0,=.10.(2012课标全国,文10)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为().A.B.2C.4D.8C设双曲线的方程为-=1,抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4,故可得A(-4,2),B(-4,-2)

5、,将点A的坐标代入双曲线方程得a2=4,故a=2,故实轴长为4.11.(2012课标全国,文11)当0x时,4xlogax,则a的取值范围是().A.B.C.(1,)D.(,2)B由04x0,可得0a1,由=loga可得a=.令f(x)=4x,g(x)=logax,若4xlogax,则说明当0.综上可得a的取值范围是.12.(2012课标全国,文12)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为().A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830Dan+1+(-1)nan=2n-1,a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a

6、7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=115-a1,a1+a2+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+234=1 830.13.(2012课标全国,文13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.4x-y-3=0因为y=3ln x+4,故y|x=1=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0.14.(2012课标全国,文1

7、4)等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=.-2由S3=-3S2,可得a1+a2+a3=-3(a1+a2),即a1(1+q+q2)=-3a1(1+q),化简整理得q2+4q+4=0,解得q=-2.15.(2012课标全国,文15)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.3a,b的夹角为45,|a|=1,ab=|a|b|cos 45=|b|,|2a-b|2=4-4|b|+|b|2=10,|b|=3.16.(2012课标全国,文16)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.2f(x)=1+,设g(x)=,则g(-x)=-g(x),g(

8、x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.17.(2012课标全国,文17)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c=asin C-ccos A.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为,求b,c.解:(1)由c=asin C-ccos A及正弦定理得sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C0,所以sin=.又0A,故A=.(2)ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8

9、.解得b=c=2.18.(2012课标全国,文18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于

10、75元的概率.解:(1)当日需求量n17时,利润y=85.当日需求量n0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为ABD的面积为4,所以|BD|d=4,即2pp=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.

11、(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.21.(2012课标全国,文21)设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大

12、值.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=ex-a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增.若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)0,所以,f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.故当x0时,(x-k)f(x)+x+10等价于k0).令g(x)=+x,则g(x)=+1=.由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+)单调递增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)存在唯一的零点.故g(x)在(0,+)存在唯一的零点.设此零点为,则(1,2).当x(0,)

13、时,g(x)0.所以g(x)在(0,+)的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3).由于式等价于kg(),故整数k的最大值为2.22.(2012课标全国,文22)选修41:几何证明选讲如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点.若CFAB,证明:(1)CD=BC;(2)BCDGBD.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC.又已知CFAB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CFAD,连结AF,所以ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CFAB,所以BC=AF,故CD=BC.(2)因为F

14、GBC,故GB=CF.由(1)可知BD=CF,所以GB=BD.而DGB=EFC=DBC,故BCDGBD.23.(2012课标全国,文23)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.解:(1)由已知可得A,B,C,D,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)设P(2cos

15、,3sin ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2.因为0sin21,所以S的取值范围是32,52.24.(2012课标全国,文24)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.解:(1)当a=-3时,f(x)=当x2时,由f(x)3得-2x+53,解得x1;当2x3时,f(x)3无解;当x3时,由f(x)3得2x-53,解得x4;所以f(x)3的解集为x|x1x|x4.(2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|.当x1,2时,|x-4|-|x-2|x+a|4-x-(2-x)|x+a|-2-ax2-a.由条件得-2-a1且2-a2,即-3a0.故满足条件的a的取值范围为-3,0.