2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(陕西卷)文.docx

1、陕西文科一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分).1.(2013陕西,文1)设全集为R,函数f(x)=1-x的定义域为M,则RM为(). A.(-,1)B.(1,+)C.(-,1D.1,+)答案:B解析:要使f(x)=1-x有意义,则须1-x0,即x1,所以M=x|x1,RM=x|x1.2.(2013陕西,文2)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于().A.-2B.2C.-2或2D.0答案:C解析:由ab知12-m2=0,即m=2或-2.3.(2013陕西,文3)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒

2、成立的是().A.logablogcb=logcaB.logablogca=logcbC.loga(bc)=logablogacD.loga(b+c)=logab+logac答案:B解析:由换底公式得logablogca=lgblgalgalgc=logcb,所以B正确.4.(2013陕西,文4)根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为().输入x;If x50 Theny=0.5􀆽 xElsey=25+0.6􀆽 (x-50)End If输出y.A.25B.30C.31D.61答案:C解析:因为x=6050,所以y=25+0.6(60-50)=31,

3、故选C.5.(2013陕西,文5)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间20,25)上为一等品,在区间15,20)和25,30)上为二等品,在区间10,15)和30,35上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是().A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45答案:D解析:由频率分布直方图知识可知:在区间15,20)和25,30)上的概率为0.045+1-(0.02+0.04+0.06+0.03)5=0.45.6.(2013陕西,文6)设z是复数,则下列命题中的假命题是().A.若z20,则z

4、是实数B.若z20,则z是虚数C.若z是虚数,则z20D.若z是纯虚数,则z20答案:C解析:由复数的基本知识可知:z2能与0比较大小且z20,则z为实数,所以A正确;同理,z20,则z是纯虚数,所以B正确;反过来,z是纯虚数,z21,而圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离为d=1a2+b22,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|2的解集是.答案:(-,+)解析:由不等式性质知:|x-a|+|x-b|(x-a)-(x-b)|=|b-a|=|a-b|2,所以|x-a|+|x-b|2的解集为全体实数.B.(几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点

5、P,已知A=C,PD=2DA=2,则PE=.答案:6解析:PEBC,C=PED.又C=A,故A=PED.又P=P,故PEDPAE,则PEPA=PDPE,PE2=PAPD.又PD=2DA=2,PA=PD+DA=3,PE2=32=6,PE=6.C.(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线x=t2,y=2t(t为参数)的焦点坐标是.答案:(1,0)解析:由x=t2,y=2t消去t得,y2=4x,故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分).16.(2013陕西,文16)(本小题满分12分)已知向量a=cosx,-12,b=(3sin x

6、,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.解:f(x)=cosx,-12(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin2x-6.(1)f(x)的最小正周期为T=2=22=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x2,-62x-656.由正弦函数的性质,当2x-6=2,即x=3时,f(x)取得最大值1.当2x-6=-6,即x=0时,f(0)=-12,当2x-6=56,即x=2时,f2=12,f(x)的最小值

7、为-12.因此,f(x)在0,2上最大值是1,最小值是-12.17.(2013陕西,文17)(本小题满分12分)设Sn表示数列an的前n项和.(1)若an是等差数列,推导Sn的计算公式;(2)若a1=1,q0,且对所有正整数n,有Sn=1-qn1-q.判断an是否为等比数列,并证明你的结论.解:(1)解法一:设an的公差为d,则Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,2Sn=n(a1+an),Sn=n(a1+an)2.解法二:设an的公差为d,则Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又Sn=an+

8、an-1+a1=a1+(n-1)d+a1+(n-2)d+a1,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d=2na1+n(n-1)d,Sn=na1+n(n-1)2d.(2)an是等比数列,证明如下:Sn=1-qn1-q,an+1=Sn+1-Sn=1-qn+11-q-1-qn1-q=qn(1-q)1-q=qn.a1=1,q0,当n1时,有an+1an=qnqn-1=q,因此,an是首项为1且公比为q的等比数列.18.(2013陕西,文18)(本小题满分12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O底面ABCD,AB=AA1=

9、2.(1)证明:平面A1BD平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.解:(1)由题设知,BB1􀱀DD1,BB1D1D是平行四边形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1􀱀B1C1􀱀BC,A1BCD1是平行四边形,A1BD1C.又A1B平面CD1B1,A1B平面CD1B1.又BDA1B=B,平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.又AO=12AC=1,AA1=2,A1O=AA12-OA2=1.又SABD=1222=1,VABD-A1B1D1=SA

10、BDA1O=1.19.(2013陕西,文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.解:(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,

11、所以各组抽取的人数如下表:组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从B组抽到的6个评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手.从a1,a2,a3和b1,b2,b3,b4,b5,b6中各抽取1人的所有结果为:由以上树状图知所有结果共18种,其中2人都支持1号歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共4种,故所求概率p=418=29.20.(2013陕西,文20)(本小题满分13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点

12、M的轨迹C的方程;(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.(1)解:设M到直线l的距离为d,根据题意,d=2|MN|.由此得|4-x|=2(x-1)2+y2,化简得x24+y23=1,所以,动点M的轨迹方程为x24+y23=1.(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+3代入x24+y23=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,其中,=(24k)2-424(3+4k2)=96(2k2-3)0,由求根公式得,x1+x2=-24k3+4k2,x1x2=243+4k2.又因A是PB的中

13、点,故x2=2x1,将代入,得x1=-8k3+4k2,x12=123+4k2,可得-8k3+4k22=123+4k2,且k232,解得k=-32或k=32,所以,直线m的斜率为-32或32.解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).A是PB的中点,x1=x22,y1=3+y22.又x124+y123=1,x224+y223=1,联立,解得x2=2,y2=0或x2=-2,y2=0,即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),所以,直线m的斜率为-32或32.21.(2013陕西,文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex,xR.(1)求f(x)的反函数

14、的图像上点(1,0)处的切线方程;(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点;(3)设ab,比较fa+b2与f(b)-f(a)b-a的大小,并说明理由.解:(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为k,g(x)=1x,k=g(1)=1,于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1.(2)解法一:曲线y=ex与y=12x2+x+1公共点的个数等于函数(x)=ex-12x2-x-1零点的个数.(0)=1-1=0,(x)存在零点x=0.又(x)=ex-x-1,令h(x)=(x)=ex-x-1,则h(x)=ex-1,当x0时,h(x)0时,h(x)0,(x)在(

15、0,+)上单调递增.(x)在x=0有唯一的极小值(0)=0,即(x)在R上的最小值为(0)=0.(x)0(仅当x=0时等号成立),(x)在R上是单调递增的,(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与y=12x2+x+1有唯一的公共点.解法二:ex0,12x2+x+10,曲线y=ex与y=12x2+x+1公共点的个数等于曲线y=12x2+x+1ex与y=1公共点的个数,设(x)=12x2+x+1ex,则(0)=1,即x=0时,两曲线有公共点.又(x)=(x+1)ex-12x2+x+1exe2x=-12x2ex0(仅当x=0时等号成立),(x)在R上单调递减,(x)与y=1有唯一的公共点,故曲线y=f(x)与y=12x2+x+1有唯一的公共点.(3)f(b)-f(a)b-a-fa+b2=eb-eab-a-ea+b2=eb-ea-bea+b2+aea+b2b-a=ea+b2b-aeb-a2-ea-b2-(b-a).设函数u(x)=ex-1ex-2x(x0),则u(x)=ex+1ex-22ex1ex-2=0,u(x)0(仅当x=0时等号成立),u(x)单调递增.当x0时,u(x)u(0)=0.令x=b-a2,则得eb-a2-ea-b2-(b-a)0,f(b)-f(a)b-afa+b2.