2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅱ卷)理.docx

1、课标全国理科注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国,理1)已知集合M=x|(x-1)24,xR,N=-1,0,1,2,3,则MN=().A.0,1,2B

2、.-1,0,1,2C.-1,0,2,3D.0,1,2,3答案:A解析:解不等式(x-1)24,得-1x3,即M=x|-1xN,输出S,所以B正确.7.(2013课标全国,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为().答案:A解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选A.8.(2013课标全国,理8)设a=log36,b=log510,c=log714,则().A.cbaB.bc

3、aC.acbD.abc答案:D解析:根据公式变形,a=lg6lg3=1+lg2lg3,b=lg10lg5=1+lg2lg5,c=lg14lg7=1+lg2lg7,因为lg 7lg 5lg 3,所以lg2lg7lg2lg5lg2lg3,即cb0,x,y满足约束条件x1,x+y3,ya(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=().A.14B.12C.1D.2答案:B解析:由题意作出x1,x+y3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.10.(201

4、3课标全国,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是().A.x0R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0答案:C解析:x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调,故C不正确.11.(2013课标全国,理11)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为().A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4

5、x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案:C解析:设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+p2=5,则x0=5-p2.又点F的坐标为p2,0,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)x-p2+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即y022-4y0+8=0,所以y0=4.由y02=2px0,得16=2p5-p2,解之得p=2,或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.12.(2013课标全国,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围

6、是().A.(0,1)B.1-22,12C.1-22,13D.13,12答案:B第卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=.答案:2解析:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,2),点E的坐标为(1,2),则AE=(1,2),BD=(-2,2),所以AEBD=2.14.(2013课

7、标全国,理14)从n个正整数1,2,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n=.答案:8解析:从1,2,n中任取两个不同的数共有Cn2种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2种,所以2Cn2=114,即2n(n-1)2=4n(n-1)=114,解得n=8.15.(2013课标全国,理15)设为第二象限角,若tan+4=12,则sin +cos =.答案:-105解析:由tan+4=1+tan1-tan=12,得tan =-13,即sin =-13cos .将其代入sin2+cos2=1,得109cos2=1.因为为第二象限角,所以cos =-31010,si

8、n =1010,sin +cos =-105.16.(2013课标全国,理16)等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.答案:-49解析:设数列an的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+1092d=10a1+45d=0,S15=15a1+15142d=15a1+105d=25.联立,得a1=-3,d=23,所以Sn=-3n+n(n-1)223=13n2-103n.令f(n)=nSn,则f(n)=13n3-103n2,f(n)=n2-203n.令f(n)=0,得n=0或n=203.当n203时,f(n)0,0n203时,f(n)0,所以当n=203时

9、,f(n)取最小值,而nN+,则f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国,理17)(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,和C(0,)得sin B=cos B,又B(0,),所以B=4.(2)

10、ABC的面积S=12acsin B=24ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos4.又a2+c22ac,故ac42-2,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为2+1.18.(2013课标全国,理18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=22AB.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.解:(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)由AC=CB=22

11、AB得,ACBC.以C为坐标原点,CA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA1=(2,0,2).设n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量,则nCD=0,nCA1=0,即x1+y1=0,2x1+2z1=0.可取n=(1,-1,-1).同理,设m是平面A1CE的法向量,则mCE=0,mCA1=0.可取m=(2,1,-2).从而cos=nm|n|m|=33,故sin=63.即二面角D-A1C-E的正弦值为63.19.(2013课标全国,理19)(本小题满

12、分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X100,110),则取X=

13、105,且X=105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学期望.解:(1)当X100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X130,150时,T=500130=65 000.所以T=800X-39 000,100Xb0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2

14、-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(3,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33,或x=0,y=3.因此|AB|=463.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-533n0.解:(1)f(x)=ex-1x+m.由x=0是f(x)的极值点得f(0)=0,所以m=1.于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+),f(x)=e

15、x-1x+1.函数f(x)=ex-1x+1在(-1,+)单调递增,且f(0)=0.因此当x(-1,0)时,f(x)0.所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)当m2,x(-m,+)时,ln(x+m)ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)0.当m=2时,函数f(x)=ex-1x+2在(-2,+)单调递增.又f(-1)0,故f(x)=0在(-2,+)有唯一实根x0,且x0(-1,0).当x(-2,x0)时,f(x)0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.由f(x0)=0得ex0=1x0+2,ln(x0+2)=-x0,故f(x)f(x0)=1x0+2+x0=(x0+

16、1)2x0+20.综上,当m2时,f(x)0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(2013课标全国,理22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.解:(1)因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCB=A,由题设知BCFA=DCEA,故CDBAEF,所以DBC=EFA

17、.因为B,E,F,C四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90.所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径.(2)连结CE,因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DBDA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为12.23.(2013课标全国,理23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:x=2cost,y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)

18、求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解:(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的轨迹的参数方程为x=cos+cos2,y=sin+sin2(为参数,02).(2)M点到坐标原点的距离d=x2+y2=2+2cos(02).当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.24.(2013课标全国,理24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac13;(2)a2b+b2c+c2a1.解:(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.