2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理.docx

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2013北京,理1)已知集合A=-1,0,1,B=x|-1x1,则AB=().A.0B.-1,0C.0,1D.-1,0,1答案:B解析:-1,0,1x|-1x0,x+m0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是().A.-,43B.-,13C.-,-

2、23D.-,-53答案:C解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=12x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在y=12x-1下方,也就是m-12m-1,即m0).由切割线定理可得,PA2=PDPB,即32=9k25k,可得k=15.PD=95,PB=5.在RtAPB中,AB=PB2-PA2=4.12.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案:96解析:连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的分法有4C41A33=96(种).13.(20

3、13北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则=.答案:4解析:可设a=-i+j,i,j为单位向量且ij,则b=6i+2j,c=-i-3j.由c=a+b=(6-)i+(+2)j,6-=-1,+2=-3,解得=-2,=-12.=4.14.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.答案:255解析:过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是

4、C1H,故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,此时,在RtD1C1E1中,C1HD1E1,D1E1C1H=C1D1C1E1,C1H=25=255.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤.15.(2013北京,理15)(本小题共13分)在ABC中,a=3,b=26,B=2A,(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=26,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得3sinA=26sin2A.所以2sinAcosAsinA=263.故cos A=63.(2)由(1)知,cos A=63,所以sin A=1-cos2A=33.又因为B=2A,所

5、以cos B=2cos2A-1=13.所以sin B=1-cos2B=223.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=539.所以c=asinCsinA=5.16.(2013北京,理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方

6、差最大?(结论不要求证明)解:设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,13).根据题意,P(Ai)=113,且AiAj=(ij).(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5A8.所以P(B)=P(A5A8)=P(A5)+P(A8)=213.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3A6A7A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=413,P(X=2)=P(A1A2A12A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=413,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=513.所以X的分布列为:X012P

7、513413413故X的期望EX=0513+1413+2413=1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.(2013北京,理17)(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5,(1)求证:AA1平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,并求BDBC1的值.解:(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1

8、AC,AA1AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则nA1B=0,nA1C1=0,即3y-4z=0,4x=0.令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B1BC1的法向量为m=(3,4,0).所以cos=nm|n|m|=1625.由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为1625.(3)设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且BD=BC1,所以(x,

9、y-3,z)=(4,-3,4).解得x=4,y=3-3,z=4.所以AD=(4,3-3,4).由ADA1B=0,即9-25=0,解得=925.因为9250,1,所以在线段BC1上存在点D,使得ADA1B.此时,BDBC1=925.18.(2013北京,理18)(本小题共13分)设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解:(1)设f(x)=lnxx,则f(x)=1-lnxx2.所以f(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,

10、x1).g(x)满足g(1)=0,且g(x)=1-f(x)=x2-1+lnxx2.当0x1时,x2-10,ln x0,所以g(x)1时,x2-10,ln x0,所以g(x)0,故g(x)单调递增.所以,g(x)g(1)=0(x0,x1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.19.(2013北京,理19)(本小题共14分)已知A,B,C是椭圆W:x24+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.解:(1)椭圆W:x24+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为

11、四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代入椭圆方程得14+m2=1,即m=32.所以菱形OABC的面积是12|OB|AC|=1222|m|=3.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k0,m0).由x2+4y2=4,y=kx+m消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x22=-4km1+4k2,y1+y22=kx1+x22+m=m1+4k2.所以AC的中点为M-4km1+4k2,m1+4k2.因为M为AC和OB的交点,所以直线O

12、B的斜率为-14k.因为k-14k-1,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.20.(2013北京,理20)(本小题共13分)已知an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,的最小值记为Bn,dn=An-Bn.(1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为4的数列(即对任意nN*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值;(2)设d是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列;(3)证明:若a1=2,dn=1

13、(n=1,2,3,),则an的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.解:(1)d1=d2=1,d3=d4=3.(2)(充分性)因为an是公差为d的等差数列,且d0,所以a1a2an.因此An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,).(必要性)因为dn=-d0(n=1,2,3,),所以An=Bn+dnBn.又因为anAn,an+1Bn,所以anan+1.于是,An=an,Bn=an+1,因此an+1-an=Bn-An=-dn=d,即an是公差为d的等差数列.(3)因为a1=2,d1=1,所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.故对任意n1,anB1=1.假设an(n2)中存在大于2的项.设m为满足am2的最小正整数,则m2,并且对任意1k2.于是,Bm=Am-dm2-1=1,Bm-1=minam,Bm2.故dm-1=Am-1-Bm-12-2=0,与dm-1=1矛盾.所以对于任意n1,有an2,即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1,an2=a1,所以An=2.故Bn=An-dn=2-1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足mn,且am=1,即数列an有无穷多项为1.