2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)文.docx

1、天津文科1.(2012天津,文1)i是虚数单位,复数=().A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-iC=1+i.2.(2012天津,文2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-2y的最小值为().A.-5B.-4C.-2D.3B由约束条件可得可行域:对于目标函数z=3x-2y,可化为y=x-z,要使z取最小值,可知过A点时取得.由得即A(0,2),z=30-22=-4.3.(2012天津,文3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为().A.8B.18C.26D.80Cn=1,S=0+31-30=2,n=2;n=24,S=2+32-31=8,n=3;n=34,S=8+33

2、-32=26,n=4;44,输出S=26.4.(2012天津,文4)已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系为().A.cbaB.cabC.bacD.bc20.81,ab1,c=2log52=log541.cb”是“2x2+x-10”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A由2x2+x-10,可得x,“x”是“2x2+x-10”的充分而不必要条件.6.(2012天津,文6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为().A.y=cos 2x,xRB.y=log2|x|,xR且x0C.y=,xRD.y=x3+

3、1,xRB对于A,y=cos 2x是偶函数,但在区间内是减函数,在区间内是增函数,不满足题意.对于B,log2|-x|=log2|x|,是偶函数,当x(1,2)时,y=log2x是增函数,满足题意.对于C,f(-x)=-f(x),y=是奇函数,不满足题意.对于D,y=x3+1是非奇非偶函数,不满足题意.7.(2012天津,文7)将函数f(x)=sin x(其中0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则的最小值是().A.B.1C.D.2Df(x)=sin x的图象向右平移个单位长度得:y=sin.又所得图象过点,sin=0.sin=0.=k(kZ).=2k(kZ).0,的最小值为2.8.

4、(2012天津,文8)在ABC中,A=90,AB=1,AC=2.设点P,Q满足=,=(1-),R.若=-2,则=().A.B.C.D.2B设=a,=b,|a|=1,|b|=2,且ab=0.=(-)(-)=(1-)b-a(a-b)=-a2-(1-)b2=-4(1-)=3-4=-2,=.9.(2012天津,文9)集合A=中的最小整数为.-3|x-2|5,-5x-25,-3x7,集合A中的最小整数为-3.10.(2012天津,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.30由几何体的三视图可知:该几何体的顶部为平放的直四棱柱,底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m

5、的长方体.几何体的体积V=V棱柱+V长方体=4+432=6+24=30 m3.11.(2012天津,文11)已知双曲线C1:-=1(a0,b0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=,b=.12C1与C2的渐近线相同,=2.又C1的右焦点为F(,0),c=,即a2+b2=5.a2=1,b2=4,a=1,b=2.12.(2012天津,文12)设m,nR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则AOB面积的最小值为.3l与圆相交所得弦的长为2,=,m2+n2=2|mn|,|mn|.l与

6、x轴交点A,与y轴交点B,SAOB=6=3.13.(2012天津,文13)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.由相交弦定理得AFFB=EFFC,FC=2.由AFCABD,可知=,BD=.由切割弦定理得DB2=DCDA,又DA=4CD,4DC2=DB2=,DC=.14.(2012天津,文14)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.(0,1)(1,2)y=函数y=kx过定点(0,0).由数形结合可知:0k1或1kkOC,0k

7、1或1k0,故解得b=1.所以sin C=,b=1.(2)解:由cos A=-,sin A=,得cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin Acos A=-,所以,cos=cos 2Acos-sin 2Asin=.17.(2012天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,ADPD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明平面PDC平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.(1)解:如图,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且ADBC.又因为ADPD,故PAD为异面直

8、线PA与BC所成的角.在RtPDA中,tanPAD=2.所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故ADCD,又由于ADPD,CDPD=D,因此AD平面PDC,而AD平面ABCD,所以平面PDC平面ABCD.(3)解:在平面PDC内,过点P作PECD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线.故PE平面ABCD,由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.在PDC中,由于PD=CD=2,PC=2,可得PCD=30.在RtPEC中,PE=PCsin 30=.由ADBC,AD平面PDC,得BC平面PDC

9、,因此BCPC.在RtPCB中,PB=.在RtPEB中,sinPBE=.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.18.(2012天津,文18)已知an是等差数列,其前n项和为Sn,bn是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记Tn=a1b1+a2b2+anbn,nN*,证明Tn-8=an-1bn+1(nN*,n2).(1)解:设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由条件,得方程组解得所以an=3n-1,bn=2n,nN*.(2)证明:由(1)得Tn

10、=22+522+823+(3n-1)2n,2Tn=222+523+(3n-4)2n+(3n-1)2n+1.由-,得-Tn=22+322+323+32n-(3n-1)2n+1=-(3n-1)2n+1-2=-(3n-4)2n+1-8,即Tn-8=(3n-4)2n+1,而当n2时,an-1bn+1=(3n-4)2n+1.所以,Tn-8=an-1bn+1,nN*,n2.19.(2012天津,文19)已知椭圆+=1(ab0),点P在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.(1)解:因为点P在椭圆上,故+=1,可得

11、=.于是e2=1-=,所以椭圆的离心率e=.(2)解:设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为(x0,y0).由条件得消去y0并整理得=.由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2=a2,整理得(1+k2)+2ax0=0,而x00,故x0=,代入,整理得(1+k2)2=4k2+4.由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直线OQ的斜率k=.20.(2012天津,文20)已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,xR,其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰

12、有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间t,t+3上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间-3,-1上的最小值.(1)解:f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f(x)=0,得x1=-1,x2=a0.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(-,-1),(a,+);单调递减区间是(-1,a).(2)解:由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,

13、从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0a.所以,a的取值范围是.(3)解:a=1时,f(x)=x3-x-1.由(1)知f(x)在-3,-1上单调递增,在-1,1上单调递减,在1,2上单调递增.当t-3,-2时,t+30,1,-1t,t+3,f(x)在t,-1上单调递增,在-1,t+3上单调递减.因此,f(x)在t,t+3上的最大值M(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t-3,-2时,f(t)f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在-3,-2上单调递增,因此f(t)f(-2)=-,所以g(t)在-3,-2上的最小值为g(-2)=-=.当t-2,-1时,t+31,2,且-1,1t,t+3.下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.由f(x)在-2,-1,1,2上单调递增,有f(-2)f(t)f(-1),f(1)f(t+3)f(2).又由f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-,从而M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-.所以g(t)=M(t)-m(t)=.综上,函数g(t)在区间-3,-1上的最小值为.