2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)理.docx
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1、大纲全国理科一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A=1,2,3,B=4,5,M=x|x=a+b,aA,bB,则M中元素的个数为(). A.3B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知x=a+b,aA,bB,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.2.(2013大纲全国,理2)(1+3i)3=().A.-8B.8C.-8iD.8i答案:A解析:(1+3i)3=1+33i+3(3i)2+(3i)3=-8.故选A.3.(2013大纲全国,理3)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2)
2、,若(m+n)(m-n),则=().A.-4B.-3C.-2D.-1答案:B解析:由(m+n)(m-n)|m|2-|n|2=0(+1)2+1-(+2)2+4=0=-3.故选B.4.(2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为().A.(-1,1)B.-1,-12C.(-1,0)D.12,1答案:B解析:由题意知-12x+10,则-1x0)的反函数f-1(x)=().A.12x-1(x0)B.12x-1(x0)C.2x-1(xR)D.2x-1(x0)答案:A解析:由题意知1+1x=2yx=12y-1(y0),因此f-1(x)=12x-1(x0)
3、.故选A.6.(2013大纲全国,理6)已知数列an满足3an+1+an=0,a2=-43,则an的前10项和等于().A.-6(1-3-10)B.19(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:3an+1+an=0,an+1=-13an.数列an是以-13为公比的等比数列.a2=-43,a1=4.S10=41-13101+13=3(1-3-10).故选C.7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是().A.56B.84C.112D.168答案:D解析:因为(1+x)8的展开式中x2的系数为C82,(1+y)4的展开式中y2的系
4、数为C42,所以x2y2的系数为C82C42=168.故选D.8.(2013大纲全国,理8)椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是().A.12,34B.38,34C.12,1D.34,1答案:B解析:设P点坐标为(x0,y0),则x024+y023=1,kPA2=y0x0-2,kPA1=y0x0+2,于是kPA1kPA2=y02x02-22=3-34x02x02-4=-34.故kPA1=-341kPA2.kPA2-2,-1,kPA138,34.故选B.9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)
5、=x2+ax+1x在12,+是增函数,则a的取值范围是().A.-1,0B.-1,+)C.0,3D.3,+)答案:D解析:由条件知f(x)=2x+a-1x20在12,+上恒成立,即a1x2-2x在12,+上恒成立.函数y=1x2-2x在12,+上为减函数,ymax1122-212=3.a3.故选D.10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于().A.23B.33C.23D.13答案:A解析:如下图,连结AC交BD于点O,连结C1O,过C作CHC1O于点H.BDACBDAA1ACAA1=ABD平面ACC1A1
6、CH平面ACC1A1CHBDCHC1OBDC1O=OCH平面C1BD,HDC为CD与平面BDC1所成的角.设AA1=2AB=2,则OC=AC2=22,C1O=OC2+CC12=222+22=92=322.由等面积法,得C1OCH=OCCC1,即322CH=222,CH=23.sinHDC=HCDC=231=23.故选A.11.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MAMB=0,则k=().A.12B.22C.2D.2答案:D解析:由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入
7、y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4(k2+2)k2,x1x2=4.由y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)y1+y2=k(x1+x2)-4k,y1y2=k2x1x2-2(x1+x2)+4.MAMB=0,(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0.(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.由解得k=2.故选D.12.(2013大纲全国,理12)已知函数f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是().A.y=f(x)的图像关
8、于点(,0)中心对称B.y=f(x)的图像关于直线x=2对称C.f(x)的最大值为32D.f(x)既是奇函数,又是周期函数答案:C解析:由题意知f(x)=2cos2xsin x=2(1-sin2x)sin x.令t=sin x,t-1,1,则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3.令g(t)=2-6t2=0,得t=33.当t=1时,函数值为0;当t=-33时,函数值为-439;当t=33时,函数值为439.g(t)max=439,即f(x)的最大值为439.故选C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知是第三象限角,sin =-13,则cot =.答案
9、:22解析:由题意知cos =-1-sin2=-1-19=-223.故cot =cossin=22.14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有A44种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有A52种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有A44A52=480(种).15.(2013大纲全国,理15)记不等式组x0,x+3y4,3x+y4所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.答案:12,4解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.直线y=a(x+
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