2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理.docx

1、江西理科1.(2012江西,理1)若集合A=-1,1,B=0,2,则集合z|z=x+y,xA,yB中的元素的个数为().A.5B.4C.3D.2C由已知,得z|z=x+y,xA,yB=-1,1,3,所以集合z|z=x+y,xA,yB中的元素的个数为3.2.(2012江西,理2)下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为().A.y=B.y=C.y=xexD.y=D因为y=的定义域为x|x0,而y=的定义域为x|xk,kZ,y=的定义域为x|x0,y=xex的定义域为R,y=的定义域为x|x0,故D项正确.3.(2012江西,理3)若函数f(x)=则f(f(10)=().A.lg 101B.2C.

2、1D.0Bf(10)=lg 10=1,f(f(10)=f(1)=12+1=2.4.(2012江西,理4)若tan +=4,则sin 2=().A.B.C.D.Dtan +=4,+=4.=4,即=4.sin 2=.5.(2012江西,理5)下列命题中,假命题为().A.存在四边相等的四边形不是正方形B.z1,z2C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数C.若x,yR,且x+y2,则x,y至少有一个大于1D.对于任意nN+,+都是偶数B选项A中,四边相等的空间四边形显然不是正方形,故选项A为真命题;选项B中,z1,z2C,“z1+z2为实数”“z1,z2互为共轭复数”,但“z1+

3、z2为实数”“z1,z2互为共轭复数”,故选项B为假命题;选项C中,假设x,y均小于等于1,则x+y2,这与x+y2相矛盾,故选项C为真命题;选项D中,+=2n,显然2n是偶数,故选项D为真命题.6.(2012江西,理6)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=().A.28B.76C.123D.199C利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29

4、=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.7.(2012江西,理7)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=().A.2B.4C.5D.10D(用向量法)将ABC的各边均赋予向量,则=-6=42-6=10.8.(2012江西,理8)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单

5、位:亩)分别为().A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50B设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩、y亩,总利润为z万元,则z关于x,y的关系式为z=4x0.55-1.2x+6y0.3-0.9y=x+0.9y,且x,y满足约束条件为画可行域,如图所示:设l0:y=-x,将l0上下平移可知,当直线z=x+0.9y过点A(30,20)(注:可联立方程组解得点A的坐标)时,z取最大值,因此当总利润z最大时,x=30,y=20,即黄瓜的种植面积为30亩,韭菜的种植面积为20亩.9.(2012江西,理9)样本(x1,x2,xn)的平均数为,样本(y1,y2,ym)的平均数为().若样本(x1,x

6、2,xn,y1,y2,ym)的平均数=+(1-),其中0,则n,m的大小关系为().A.nmC.n=mD.不能确定A由已知,得x1+x2+xn=n,y1+y2+ym=m,=+(1-),整理,得(-)m+(-1)n=0,m+(-1)n=0,即=.又0,01,01.又n,mN+,nm.10.(2012江西,理10)如右图,已知正四棱锥S -ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0x1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为().A设截面与SB,SD,AD,AB分别交于点M,N,P,F,取SC的中点Q,连

7、结BQ,DQ,如图,过M作MTAB,VS-ABCD=,由相似性知,VS-EMN=x3,VS-TNM=x3,V棱柱TNM-APF=x2-2x3.(1)当0x时,Vx=-x3-x3-x2+2x3=+x3-x2.Vx=x(3x-2),图象如图.由Vx的图象可知,当0x时,Vx减小的速度先慢,再快,后慢.(2)当x1时,Vx=(1-x)3,Vx=-(1-x)2,图象如图.由Vx的图象可知,当xb0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为.因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2

8、|=2c,|BF1|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=.14.(2012江西,理14)下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是.3当T=0,k=1时,sinsin,所以a=1,T=1,k=2;当T=1,k=2时,sinsin,所以a=0,T=1,k=3;当T=1,k=3时,sinsin,所以a=1,T=2,k=5;当T=2,k=5时,sinsin,所以a=1,T=3,k=6.此时k6,所以输出T=3.15.(2012江西,理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2+y2

9、-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|6的解集为.(1)=2cos (2)16.(2012江西,理16)已知数列an的前n项和Sn=-n2+kn(其中kN+),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和Tn.解:(1)当n=kN+时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=-n(n2).又a1=S1=,所以an=-n.(2)因为bn=,Tn=b1+b2+bn=1+,所以Tn=2Tn-T

10、n=2+1+-=4-=4-.17.(2012江西,理17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求ABC的面积.(1)证明:由bsin-csin=a,应用正弦定理,得sin Bsin-sin Csin=sin A,sin B-sin C=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,由于0B,C,从而B-C=.(2)解:B+C=-A=,因此B=,C=,由a=,A=,得b=2sin,c=2sin,所以ABC的面积S=bcsin A=sinsin=cossin=.18.(2012江西,

11、理18)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望EV.解:(1)从6个点中随机选取3个点总共有=20种取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有=12种,因此V=0的概率为P(V=0)=.(2)V的所有可能取值为0,因此V的分布列为V0P由V的分布列可得EV=0+=.19.(2012江西,理

12、19)在三棱柱ABC - A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.(1)证明:连接AO,在AOA1中,作OEAA1于点E,因为AA1BB1,得OEBB1,因为A1O平面ABC,所以A1OBC.因为AB=AC,OB=OC,得AOBC,所以BC平面AA1O,所以BCOE,所以OE平面BB1C1C.又AO=1,AA1=,得AE=.(2)解:如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则

13、A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),由=得点E的坐标是,由(1)得平面BB1C1C的法向量是=,设平面A1B1C的法向量n=(x,y,z),由得令y=1,得x=2,z=-1,即n=(2,1,-1),所以cos=,即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是.20.(2012江西,理20)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=(+)+2.(1)求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l,问:是否存在定点P(0,t)(t0),使得l与PA,PB都相交

14、,交点分别为D,E,且QAB与PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值;若不存在,说明理由.解:(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),|+|=,(+)=(x,y)(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线C的方程:x2=4y.(2)假设存在点P(0,t)(t0)满足条件,则直线PA的方程是y=x+t,PB的方程是y=x+t.曲线C在Q处的切线l的方程是y=x-,它与y轴的交点为F.由于-2x02,因此-11.当-1t0时,-1-,存在x0(-2,2),使得=,即l与直线PA平行,故当-1t0时不符合题意.当t-1时,-1,所以l与直线PA,PB一定相交.分别联立方程组解得

15、D,E的横坐标分别是xD=,xE=,则xE-xD=(1-t),又|FP|=-t,有SPDE=|FP|xE-xD|=,又SQAB=4=,于是=.对任意x0(-2,2),要使为常数,即只须t满足解得t=-1.此时=2,故存在t=-1,使得QAB与PDE的面积之比是常数2.21.(2012江西,理21)若函数h(x)满足h(0)=1,h(1)=0;对任意a0,1,有h(h(a)=a;在(0,1)上单调递减.则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=(-1,p0).(1)判断函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;(2)若存在m0,1,使h(m)=m,称m是函数h(x)的中介元.记p=(nN+)时h(

16、x)的中介元为xn,且Sn=xi,若对任意的nN+,都有Sn-1,p0,所以当x(0,1)时,g(x)-1且0时,由(*)得=(0,1)或=0,1;得中介元xn=.综合()(),对任意的-1,中介元为xn=(nN+),于是,当-1时,有Sn=,当n无限增大时,无限接近于0,Sn无限接近于,故对任意的nN+,Sn成立等价于,即3,+).(3)当=0时,h(x)=(1-xp,中介元为xp=,()当01时,依题意只须(1-xp1-x在x(0,1)时恒成立,也即xp+(1-x)p1在x(0,1)时恒成立,设(x)=xp+(1-x)p,x0,1,则(x)=pxp-1-(1-x)p-1,由(x)=0得x=,且当x时,(x)0,又因为(0)=(1)=1,所以当x(0,1)时,(x)1恒成立.综上,p的取值范围是(1,+).