2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅱ卷)文.docx

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试课标全国文科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国,文1)已知集合M=x|-3xb0)的左、右焦点分别为F1,F2,P

2、是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为().A.36B.13C.12D.33答案:D解析:如图所示,在RtPF1F2中,|F1F2|=2c,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由tan 30=|PF2|F1F2|=x2c=33,得x=233c.而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x,a=32x=3c,e=ca=c3c=33.6.(2013课标全国,文6)已知sin 2=23,则cos2+4=().A.16B.13C.12D.23答案:A解析:由半角公式可得,cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=1-232=16.7.(2013课标全国,文7)执行

3、下面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=().A.1+12+13+14B.1+12+132+1432C.1+12+13+14+15D.1+12+132+1432+15432答案:B解析:由程序框图依次可得,输入N=4,T=1,S=1,k=2;T=12,S=1+12,k=3;T=132,S=1+12+132,k=4;T=1432,S=1+12+132+1432,k=5;输出S=1+12+132+1432.8.(2013课标全国,文8)设a=log32,b=log52,c=log23,则().A.acbB.bcaC.cbaD.cab答案:D解析:log25log231,log2311log

4、231log250,即log231log32log520,cab.9.(2013课标全国,文9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为().答案:A解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:则它在平面zOx的投影即正视图为,故选A.10.(2013课标全国,文10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为().A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)

5、或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案:C解析:由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图所示,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK中,由|NB|AM|=|BK|AK|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,则cosNBK=|NB|BK|=tx=12,NBK=60,则GFK=60,即直线AB的倾斜角为60.斜率

6、k=tan 60=3,故直线方程为y=3(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图所示,同理可得直线方程为y=-3(x-1),故选C.11.(2013课标全国,文11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是().A.x0R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0答案:C解析:若x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调,故C不正确.12.(2013课标全国,文12)若存在正数x使2x(x-a)x-12x

7、(x0).令f(x)=x-12x,该函数在(0,+)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+),故a-1时,存在正数x使原不等式成立.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国,文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.答案:0.2解析:该事件基本事件空间=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共有10个,记A=“其和为5”=(1,4),

8、(2,3)有2个,P(A)=210=0.2.14.(2013课标全国,文14)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=.答案:2解析:以AB,AD为基底,则ABAD=0,而AE=12AB+AD,BD=AD-AB,AEBD=12AB+AD(AD-AB)=-12|AB|2+|AD|2=-1222+22=2.15.(2013课标全国,文15)已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案:24解析:如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=13S正方形ABCD|OO1|=13(3)2|OO1|=322,|OO1|=322

9、,|AO1|=62,在RtOO1A中,OA=|OO1|2+|AO1|2=3222+622=6,即R=6,S球=4R2=24.16.(2013课标全国,文16)函数y=cos(2x+)(-)的图像向右平移2个单位后,与函数y=sin2x+3的图像重合,则=.答案:56解析:y=cos(2x+)向右平移2个单位得,y=cos2x-2+=cos(2x-+)=sin2x-+2=sin2x+-2,而它与函数y=sin2x+3的图像重合,令2x+-2=2x+3+2k,kZ,得=56+2k,kZ.又-,=56.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国,文17)(本小题满分

10、12分)已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求a1+a4+a7+a3n-2.解:(1)设an的公差为d.由题意,a112=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.从而Sn=n2(a1+a3n-2)=n2(-6n+56)=-3n2+28n.18.(2013课标全国,文18)(本小题满分12分

11、)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-A1DE的体积.解:(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CDAB.又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=22得ACB=90,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,故A1D2+DE2

12、=A1E2,即DEA1D.所以VC-A1DE=1312632=1.19.(2013课标全国,文19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.解:(1)当X100,130)时,T=500X-300(

13、130-X)=800X-39 000.当X130,150时,T=500130=65 000.所以T=800X-39 000,100X130,65 000,130X150.(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.20.(2013课标全国,文20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),

14、圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0).由已知得|x0-y0|2=22.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-y0|=1,y02-x02=1.由x0-y0=1,y02-x02=1得x0=0,y0=-1.此时,圆P的半径r=3.由x0-y0=-1,y02-x02=1得x0=0,y0=1.此时,圆P的半径r=3.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.21.(2013课标全国,文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值;(2

15、)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=-e-xx(x-2).当x(-,0)或x(2,+)时,f(x)0.所以f(x)在(-,0),(2,+)单调递减,在(0,2)单调递增.故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.(2)设切点为(t,f(t),则l的方程为y=f(t)(x-t)+f(t).所以l在x轴上的截距为m(t)=t-f(t)f(t)=t+tt-2=t-2+2t-2+3.由已知和得t(-,0)(2,+).令h(x)=x+2x(x0)

16、,则当x(0,+)时,h(x)的取值范围为22,+);当x(-,-2)时,h(x)的取值范围是(-,-3).所以当t(-,0)(2,+)时,m(t)的取值范围是(-,0)22+3,+).综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-,0)22+3,+).请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(2013课标全国,文22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCA

17、E=DCAF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.解:(1)因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCB=A.由题设知BCFA=DCEA,故CDBAEF,所以DBC=EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90.所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径.(2)连结CE,因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DBDA=3DB

18、2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为12.23.(2013课标全国,文23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:x=2cost,y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解:(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的轨迹的参数方程为x=cos+cos2,y=sin+sin2,(为参数,02).(2)M点

19、到坐标原点的距离d=x2+y2=2+2cos(02).当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.24.(2013课标全国,文24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ca13;(2)a2b+b2c+c2a1.解:(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.