2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)理.docx

1、天津理科1.(2012天津,理1)i是虚数单位,复数=().A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-iB=2-i.2.(2012天津,理2)设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=1,cos =1,=k(kZ).是充分而不必要条件.3.(2012天津,理3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出x的值为().A.-1B.1C.3D.9Cx=|-25|1,x

2、=-1=4;x=|4|1,x=-1=1;x=|1|1不成立,x=21+1=3.4.(2012天津,理4)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是().A.0B.1C.2D.3Bf(x)=2xln 2+3x2,在(0,1)上f(x)0恒成立,f(x)在区间(0,1)上单调递增.又f(0)=20+03-2=-10,f(x)在区间(0,1)上存在一个零点.5.(2012天津,理5)在的二项展开式中,x的系数为().A.10B.-10C.40D.-40DTr+1=(2x2)5-r=(-1)r25-rx10-3r,当10-3r=1时,r=3.(-1)325-3=-40.6.(2012天

3、津,理6)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=().A.B.-C.D.A在ABC中,由正弦定理:=,=,=,cos B=.cos C=cos 2B=2cos2B-1=.7.(2012天津,理7)已知ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足=,=(1-),R.若=-,则=().A.B.C.D.A设=a,=b,则|a|=|b|=2,且=.=-=(1-)b-a,=-=a-b.=(1-)b-a(a-b)=(1-)+1ab-a2-(1-)b2=(-2+1)2-4-4(1-)=-22+2-2=-.即(2-1)2=0,=.8.(2012天津,理8)

4、设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是().A.1-,1+B.(-,1-1+,+)C.2-2,2+2D.(-,2-22+2,+)D直线与圆相切,=1,|m+n|=,即:mn=m+n+1,设m+n=t,则mn=,t+1,t2-4t-40,解得:t2-2或t2+2.9.(2012天津,理9)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取所学校,中学中抽取所学校.189共有学校150+75+25=250所,小学中应抽取:30=18所,中学中应抽取:

5、30=9所.10.(2012天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.18+9由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m的长方体,底部为两个直径为3 m的球.该几何体的体积为:V=631+2=18+9(m3).11.(2012天津,理11)已知集合A=,集合B=,且AB=(-1,n),则m=,n=.-11A=xR|x+2|3,|x+2|3.-3x+23,-5x1.又B=xR|(x-m)(x-2)0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=.2由参数方程(t为参数

6、),p0,可得曲线方程为:y2=2px(p0).|EF|=|MF|,且|MF|=|ME|(抛物线定义),MEF为等边三角形,E的横坐标为-,M的横坐标为3.EM中点的横坐标为:,与F的横坐标相同,=,p=2.13.(2012天津,理13)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.在圆中,由相交弦定理:AFFB=EFFC,FC=2,由三角形相似,=,BD=.由切割弦定理:DB2=DCDA,又DA=4CD,4DC2=DB2=.DC=.14.(2012天津,理14)已

7、知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.(0,1)(1,4)y=函数y=kx-2过定点(0,-2),由数形结合:kABk1或1kkAC,0k1或1k4.15.(2012天津,理15)已知函数f(x)=sin+sin+2cos2x-1,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=sin 2xcos+cos 2xsin+sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数,又f=-

8、1,f=,f=1,故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-1.16.(2012天津,理16)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|X-Y|,求随机变量的分布列与数学期望E().解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“

9、这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3A4.由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=+=.所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(=0)=P(A2)=,P(=2)=P(A1)+P(A3)=,P(=4)=P(A0)+P(A4)=.所以的分布列是024P随机变量的数学期望E()=0+2+4=.17.

10、(2012天津,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)证明PCAD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30,求AE的长.解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(-,0),P(0,0,2).(1)证明:易得=(0,1,-2),=(2,0,0),于是=0,所以PCAD.(2)=(0,1,-2),=(2,-1,0).设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则即不妨令z=1,可得n=(1,

11、2,1).可取平面PAC的法向量m=(1,0,0).于是cos=,从而sin=.所以二面角A-PC-D的正弦值为.(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中h0,2,由此得=.由=(2,-1,0),故cos=,所以,=cos 30=,解得h=,即AE=.解法二:(1)证明:由PA平面ABCD,可得PAAD,又由ADAC,PAAC=A,故AD平面PAC.又PC平面PAC,所以PCAD.(2)如图,作AHPC于点H,连接DH.由PCAD,PCAH,可得PC平面ADH.因此DHPC,从而AHD为二面角A-PC-D的平面角.在RtPAC中,PA=2,AC=1,由此得AH=.由(1)知ADAH,故在RtD

12、AH中,DH=.因此sinAHD=.所以二面角A-PC-D的正弦值为.(3)如图,因为ADC45,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF.故EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BFCD,故AFB=ADC.在RtDAC中,CD=,sinADC=,故sinAFB=.在AFB中,由=,AB=,sinFAB=sin 135=,可得BF=.由余弦定理,BF2=AB2+AF2-2ABAFcosFAB,可得AF=.设AE=h.在RtEAF中,EF=.在RtBAE中,BE=.在EBF中,因为EFb0)的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.

13、(1)若直线AP与BP的斜率之积为-,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|.(1)解:设点P的坐标为(x0,y0).由题意,有+=1由A(-a,0),B(a,0),得kAP=,kBP=.由kAPkBP=-,可得=a2-2,代入并整理得(a2-2b2)=0.由于y00,故a2=2b2.于是e2=,所以椭圆的离心率e=.(2)证明:(方法一)依题意,直线OP的方程为y=kx,设点P的坐标为(x0,y0).由条件得消去y0并整理得=.由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2=a2.整理得(1+k2)+2ax0=0.而x00,于是

14、x0=,代入,整理得(1+k2)2=4k2+4.由ab0,故(1+k2)24k2+4,即k2+14,因此k23.所以|k|.(方法二)依题意,直线OP的方程为y=kx,可设点P的坐标为(x0,kx0),由点P在椭圆上,有+=1.因为ab0,kx00,所以+1,即(1+k2)a2.由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2=a2,整理得(1+k2)+2ax0=0,于是x0=.代入,得(1+k2)3,所以|k|.20.(2012天津,理20)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a0.(1)求a的值;(2)若对任意的x0,+),有f(x)kx2成立,求实数k的最小

15、值;(3)证明-ln(2n+1)-a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-a,1-a)1-a(1-a,+)f(x)-0+f(x)极小值因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,故由题意f(1-a)=1-a=0,所以a=1.(2)解:当k0时,取x=1,有f(1)=1-ln 20,故k0不合题意.当k0时,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=x-ln(x+1)-kx2.g(x)=-2kx=.令g(x)=0,得x1=0,x2=-1.当k时,0,g(x)0在(0,+)上恒成立,因此g(x)在0,+)上单调递减.从而对于任意的x0,+),总有g(x)g(0)=0,即f(x)kx2在0,+)上恒成立,故k符合题意.当0k0,对于x,g(x)0,故g(x)在内单调递增.因此当取x0时,g(x0)g(0)=0,即f(x0)k不成立.故0k不合题意.综上,k的最小值为.(3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln 32=右边,所以不等式成立.当n2时,=-ln(2i+1)-ln(2i-1)=-ln(2n+1).在(2)中取k=,得f(x)(x0),从而f(iN*,i2),所以有-ln(2n+1)=f(2)+2-ln 3+=2-ln 3+=2-ln 3+1-2.综上,-ln(2n+1)2,nN*.