2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理.docx

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页,第卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷一、选择题:本大题

2、共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013江西,理1)已知集合M=1,2,zi,i为虚数单位,N=3,4,MN=4,则复数z=(). A.-2iB.2iC.-4iD.4i答案:C解析:由MN=4,得zi=4,z=4i=-4i.故选C.2.(2013江西,理2)函数y=xln(1-x)的定义域为().A.(0,1)B. 0,1)C.(0,1D.0,1答案:B解析:要使函数有意义,需x0,1-x0,解得0x1,即所求定义域为0,1).故选B.3.(2013江西,理3)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于().A.-24B.0C.12

3、D.24答案:A解析:由题意得:(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或-1.当x=-1时,3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项为-3,-6,-12,故第四项为-24.4.(2013江西,理4)总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01答案:D解析:选出的5个

4、个体的编号依次是08,02,14,07,01,故选D.5.(2013江西,理5)x2-2x35展开式中的常数项为().A.80B.-80C.40D.-40答案:C解析:展开式的通项为Tr+1=C5rx2(5-r)(-2)rx-3r=C5r(-2)rx10-5r.令10-5r=0,得r=2,所以T2+1=C52(-2)2=40.故选C.6.(2013江西,理6)若S1=12 x2dx,S2=12 1xdx,S3=12 exdx,则S1,S2,S3的大小关系为().A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2e73,所以S2S1S3,故选B.7.(2013江西,理7)阅读如下程序框

5、图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为().A.S=2*i-2B.S=2*i-1C.S=2*iD.S=2*i+4答案:C解析:当i=2时,S=22+1=5;当i=3时,S=23+4=10不满足S10,排除选项D;当i=4时,S=24+1=9;当i=5时,选项A,B中的S满足S10,继续循环,选项C中的S=10不满足S10,退出循环,输出i=5,故选C.8.(2013江西,理8)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=().A.8B.9C.10D.11答案:A解析:由CE与AB共面

6、,且与正方体的上底面平行,则与CE相交的平面个数m=4.作FO底面CED,一定有面EOF平行于正方体的左、右侧面,即FE平行于正方体的左、右侧面,所以n=4,m+n=8.故选A.9.(2013江西,理9)过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于().A.33B.-33C.33D.-3答案:B解析:曲线y=1-x2的图象如图所示:若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k0,设l:y=k(x-2),则点O到l的距离d=-2kk2+1.又SAOB=12|AB|d=1221-d2d=(1-d2)d21-d2+d22=12

7、,当且仅当1-d2=d2,即d2=12时,SAOB取得最大值.所以2k2k2+1=12,k2=13,k=-33.故选B.10.(2013江西,理10)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0x0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.答案:6解析:抛物线的准线方程为y=-p2,设A,B的横坐标分别为xA,xB,则|xA|2=|xB|2=3+p42,所以|AB|=|2xA|.又焦点到准线的距离为p,由等边三角形的特点得p=32

8、|AB|,即p2=3443+p42,所以p=6.三、选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.15.(2013江西,理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为x=t,y=t2(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.答案:cos2-sin =0解析:由参数方程x=t,y=t2得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.由公式x=cos,y=sin得曲线C的极坐标方程为cos2=sin .(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|x-2|-1|1的解集为.答案:0,4解析:原不等式等价于-

9、1|x-2|-11,即0|x-2|2,解得0x4.四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(2013江西,理16)(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-3sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解:(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-3sin Acos B=0,即有sin Asin B-3sin Acos B=0,因为sin A0,所以sin B-3cos B=0,又cos B0,所以tan B=3,又0B,所以B=3.(2)

10、由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.因为a+c=1,cos B=12,有b2=3a-122+14.又0a1,于是有14b21,即有12b1.17.(2013江西,理17)(本小题满分12分)正项数列an的前n项和Sn满足:Sn2-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=n+1(n+2)2an2,数列bn的前n项和为Tn.证明:对于任意的nN*,都有Tn0,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上,数列an的通项an=2n.(2)证明:由于an=2n,bn=n+1(

11、n+2)2an2,则bn=n+14n2(n+2)2=1161n2-1(n+2)2.Tn=1161-132+122-142+132-152+1(n-1)2-1(n+1)2+1n2-1(n+2)2=1161+122-1(n+1)2-1(n+2)2b0)经过点P1,32,离心率e=12,直线l的方程为x=4.(1)求椭圆C的方程;(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数,使得k1+k2=k3?若存在,求的值;若不存在,说明理由.解:(1)由P1,32在椭圆上得,1a2+94b2=1,依题设知a=2c

12、,则b2=3c2,代入解得c2=1,a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4(k2-3)4k2+3,在方程中令x=4得,M的坐标为(4,3k).从而k1=y1-32x1-1,k2=y2-32x2-1,k3=3k-324-1=k-12.注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有y1x1-1=y2x2-1=k.所以k1+k2=

13、y1-32x1-1+y2-32x2-1=y1x1-1+y2x2-1-321x1-1+1x2-1=2k-32x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1.代入得k1+k2=2k-328k24k2+3-24(k2-3)4k2+3-8k24k2+3+1=2k-1,又k3=k-12,所以k1+k2=2k3.故存在常数=2符合题意.(2)方法二:设B(x0,y0)(x01),则直线FB的方程为:y=y0x0-1(x-1),令x=4,求得M4,3y0x0-1,从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12(x0-1).联立y=y0x0-1(x-1),x24+y23=1,得A5x0-82x0-5,3y02x0-

14、5,则直线PA的斜率为:k1=2y0-2x0+52(x0-1),直线PB的斜率为:k2=2y0-32(x0-1),所以k1+k2=2y0-2x0+52(x0-1)+2y0-32(x0-1)=2y0-x0+1x0-1=2k3,故存在常数=2符合题意.21.(2013江西,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=a1-2x-12,a为常数且a0.(1)证明:函数f(x)的图像关于直线x=12对称;(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点.如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;(3)对于(2)中的x1,x2和a,设x3为函

15、数f(f(x)的最大值点,A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(x3,0).记ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.(1)证明:因为f12+x=a(1-2|x|),f12-x=a(1-2|x|),有f12+x=f12-x,所以函数f(x)的图像关于直线x=12对称.(2)解:当0a12.所以f(f(x)=x只有一个解x=0,又f(0)=0,故0不是二阶周期点.当a=12时,有f(f(x)=x,x12,1-x,x12.所以f(f(x)=x有解集xx12,又当x12时,f(x)=x,故xx12中的所有点都不是二阶周期点.当a12时,有f(f(x)=4a2x,x14a,2a

16、-4a2x,14ax12,2a(1-2a)+4a2x,124a-14a.所以f(f(x)=x有四个解0,2a1+4a2,2a1+2a,4a21+4a2,又f(0)=0,f2a1+2a=2a1+2a,f2a1+4a22a1+4a2,f4a21+4a24a21+4a2,故只有2a1+4a2,4a21+4a2是f(x)的二阶周期点.综上所述,所求a的取值范围为a12.(3)由(2)得x1=2a1+4a2,x2=4a21+4a2,因为x3为函数f(f(x)的最大值点,所以x3=14a,或x3=4a-14a.当x3=14a时,S(a)=2a-14(1+4a2),求导得:S(a)=-2a-1+22a-1-22(1+4a2)2,所以当a12,1+22时,S(a)单调递增,当a1+22,+时S(a)单调递减;当x3=4a-14a时,S(a)=8a2-6a+14(1+4a2),求导得:S(a)=12a2+4a-32(1+4a2)2,因a12,从而有S(a)=12a2+4a-32(1+4a2)20,所以当a12,+时S(a)单调递增.