2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷).docx

1、12江苏1.(2012江苏,1)已知集合A=1,2,4,B=2,4,6,则AB=.1,2,4,6根据集合的并集运算法则得,AB=1,2,4,6.2.(2012江苏,2)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取名学生.15根据分层抽样的特点,可得高二年级学生人数占学生总人数的,因此在样本中,高二年级的学生所占比例也应该为,故应从高二年级抽取50=15(名)学生.3.(2012江苏,3)设a,bR,a+bi=(i为虚数单位),则a+b的值为.8a+bi=,a+bi=5+3i.根据复数相等的充要条件可得a=

2、5,b=3,故a+b=8.4.(2012江苏,4)下图是一个算法流程图,则输出的k的值是.5初始k1,则12-51+4=0.第一次循环:k2,22-52+40;第二次循环:k3,32-53+40,经判断此时跳出循环,输出的k的值是5.5.(2012江苏,5)函数f(x)=的定义域为.(0,要使函数f(x)=有意义,则需解得0x,故f(x)的定义域为(0,.6.(2012江苏,6)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.由题意可知,这10个数分别为1,-3,9,-27,81,-35,36,-37,38,-39,在这10个数

3、中,比8小的有5个负数和1个正数,故由古典概型的概率公式得所求概率P=.7.(2012江苏,7)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为cm3.6由已知可得,=332=6(cm3).8.(2012江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为.2根据双曲线方程的结构形式可知,此双曲线的焦点在x轴上,且a2=m,b2=m2+4,故c2=m2+m+4,于是e2=()2,解得m=2,经检验符合题意.9.(2012江苏,9)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若

4、=,则的值是.由=得,(+)=,即+=,又,=0,=,故=(+)(+)=+=0+(-)+|2+0=-+2=-|2+2=-2+2=.10.(2012江苏,10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上,f(x)=其中a,bR.若f=f,则a+3b的值为.-10根据题意,可得即解得故a+3b=-10.11.(2012江苏,11)设为锐角,若cos=,则sin的值为.为锐角,cos=,sin=,sin=2sincos=2=,且0+,故0,2=2+,cos=,sin=sin=sincos-cossin=sincos-cossin=-=.12.(2012江苏,12)在平面直角坐标系xOy

5、中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.圆C的方程可化为(x-4)2+y2=1,直线y=kx-2是过定点(0,-2)的动直线.圆心C到直线y=kx-2的距离d=,要使其满足已知条件,则需d1+1,即1+1,解得0k.故k的最大值为.13.(2012江苏,13)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.9f(x)=x2+ax+b的值域为0,+),=a2-4b=0.又f(x)c的解集为(m,m+6),即x2+ax+

6、b-c0的解集为(m,m+6),m,m+6是对应方程x2+ax+b-c=0的两个根,由得,a2=4m2+24m+36,由得,4b-4c=4m2+24m,由可得,4m2+24m+36=4m2+24m+4c,解得c=9.14.(2012江苏,14)已知正数a,b,c满足:5c-3ab4c-a,cln ba+cln c,则的取值范围是.e,7由cln ba+cln c,得ln b+ln c,即bc,所以,原问题可化为满足约束条件的线性规划问题,如图所示,可行域为阴影部分.故可求得A.目标函数可视为可行域内的点与原点连线的斜率.下面求曲线b=c过原点的切线,b=,设切点为(a0,b0),则有=,可得将

7、a0=c代入两条直线b+a=4c,b+3a=5c,可知切点在点B,C之间.所以目标函数线过A点取得最大值,=7,过切点(c,ec)取得最小值=e,故的取值范围为e,7.15.(2012江苏,15)在ABC中,已知=3.(1)求证:tan B=3tan A;(2)若cos C=,求A的值.解:(1)证明:因为=3,所以ABACcos A=3BABCcos B,即ACcos A=3BCcos B,由正弦定理知=,从而sin Bcos A=3sin Acos B,又因为0A+B0,cos B0,所以tan B=3tan A.(2)因为cos C=,0C0,故tan A=1,所以A=.16.(2012

8、江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且ADDE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE平面BCC1B1;(2)直线A1F平面ADE.证明:(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.又AD平面ABC,所以CC1AD.又因为ADDE,CC1,DE平面BCC1B1,CC1DE=E,所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE,所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1,且A1F平面A1B1C1,所以CC1

9、A1F.又因为CC1,B1C1平面BCC1B1,CC1B1C1=C1,所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1,所以A1FAD.又AD平面ADE,A1F平面ADE,所以A1F平面ADE.17.(2012江苏,17)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请

10、说明理由.解:(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x0,k0,故x=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a0,所以炮弹可击中目标存在k0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0a6.所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.18.(2012江苏,18)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函

11、数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;(3)设h(x)=f(f(x)-c,其中c-2,2,求函数y=h(x)的零点个数.解:(1)由题设知f(x)=3x2+2ax+b,且f(-1)=3-2a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x-2时,g(x)0;当-2x0,故-2是g(x)的极值点.当-2x1时,g(x)0,故1不是g(x)的极值点.所以g(x)的极值点为-2.(3)令f(

12、x)=t,则h(x)=f(t)-c.先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d-2,2.当|d|=2时,由(2)可知,f(x)=-2的两个不同的根为1和-2,注意到f(x)是奇函数,所以f(x)=2的两个不同的根为-1和2.当|d|0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)f(2)=2,此时f(x)=d无实根.同理,f(x)=d在(-,-2)上无实根.当x(1,2)时,f(x)0,于是f(x)是单调增函数,又f(1)-d0,y=f(x)-d的图象不间断,所以f(x)=d在(1,2)内有唯一实根.同理,f(x)=d在(-2,-1)内有唯一实根.当x(-1

13、,1)时,f(x)0,f(1)-d0,y=f(x)-d的图象不间断,所以f(x)=d在(-1,1)内有唯一实根.由上可知:当|d|=2时,f(x)=d有两个不同的根x1,x2满足|x1|=1,|x2|=2;当|d|2时,f(x)=d有三个不同的根x3,x4,x5满足|xi|2,i=3,4,5.现考虑函数y=h(x)的零点.当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2满足|t1|=1,|t2|=2,而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y=h(x)有5个零点.当|c|2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5满足|ti|2,i=3,4,5,而f(x)=ti(i=

14、3,4,5)有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点.综上可知,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;当|c|b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),已知点(1,e)和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;求证:PF1+PF2是定值.解:(1)由题设知a2=b2+c2,e=.由点(1,e)在椭圆上,得+=1,解得b2=1,于是c2=a2-1,又点在椭圆上,所以+=1,即+=1,解得a2=2.因此,所求椭圆的方程是+y2=

15、1.(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),又直线AF1与BF2平行,所以可设直线AF1的方程为x+1=my,直线BF2的方程为x-1=my.设A(x1,y1),B(x2,y2),y10,y20.由得(m2+2)-2my1-1=0,解得y1=,故AF1=.同理,BF2=.由以上两式可得AF1-BF2=,解=得m2=2,注意到m0,故m=.所以直线AF1的斜率为=.证明:因为直线AF1与BF2平行,所以=,于是=,故PF1=BF1.由B点在椭圆上知BF1+BF2=2,从而PF1=(2-BF2).同理PF2=(2-AF1).因此,PF1+PF2=(2-BF2)+(2-AF1)=2-.又A

16、F1+BF2=,AF1BF2=,所以PF1+PF2=2-=.因此,PF1+PF2是定值.20.(2012江苏,20)已知各项均为正数的两个数列an和bn满足:an+1=,nN*.(1)设bn+1=1+,nN*,求证:数列是等差数列;(2)设bn+1=,nN*,且an是等比数列,求a1和b1的值.解:(1)证明:由题设知an+1=,所以=,从而-=1(nN*),所以数列是以1为公差的等差数列.(2)因为an0,bn0,所以+(an+bn)2,从而10知q0.下证q=1.若q1,则a1=logq时,an+1=a1qn,与(*)矛盾;若0qa21,故当nlogq时,an+1=a1qn1,与(*)矛盾

17、.综上,q=1,故an=a1(nN*),所以11,于是b1b2b3.又由a1=得bn=,所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾.所以a1=,从而bn=.所以a1=b1=.21.(2012江苏,21)A.(选修4-1:几何证明选讲)如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD=DC,连结AC,AE,DE.求证:E=C.B.(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵A的逆矩阵A-1=,求矩阵A的特征值.C.(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线sin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.D.(选修4-5:不等式选讲)已知实数

18、x,y满足:|x+y|,|2x-y|,求证:|y|.A.证明:如图,连结OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以ODAC,于是ODB=C.因为OB=OD,所以ODB=B.于是B=C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以E和B为同弧所对的圆周角,故E=B.所以E=C.B.解:因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.因为A-1=,所以A=(A-1)-1=,于是矩阵A的特征多项式为f()=2-3-4.令f()=0,解得A的特征值1=-1,2=4.C.解:如图,在sin=-中令=0,得=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC=1

19、,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为=2cos .D.证明:因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|,|2x-y|,从而3|y|+=,所以|y|.22.(2012江苏,22)设为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,=0;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,=1.(1)求概率P(=0);(2)求的分布列,并求其数学期望E().解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P(=0)=.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或

20、,其中距离为的共有6对,故P(=)=,于是P(=1)=1-P(=0)-P(=)=1-=,所以随机变量的分布列是01P()因此E()=1+=.23.(2012江苏,23)设集合Pn=1,2,n,nN*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:APn;若xA,则2xA;若xA,则2xA.(1)求f(4);(2)求f(n)的解析式(用n表示).解:(1)当n=4时,符合条件的集合A为:2,1,4,2,3,1,3,4,故f(4)=4.(2)任取偶数xPn,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2,经过k次以后,商必为奇数,此时记商为m,于是x=m2k,其中m为奇数,kN*.由条件知,若mA,则xAk为偶数;若mA,则xAk为奇数.于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Qn是Pn中所有奇数的集合,因此f(n)等于Qn的子集个数.当n为偶数(或奇数)时,Pn中奇数的个数是,所以f(n)=