2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)文.docx

1、12重庆(文)1.(2012重庆,文1)命题“若p则q”的逆命题是().A.若q则pB.若􀱑p则􀱑qC.若􀱑q则􀱑pD.若p则􀱑qA根据逆命题的定义,命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”,故选A.2.(2012重庆,文2)不等式0的解集为().A.(1,+)B.(-,-2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)C不等式0可化为(x-1)(x+2)0,解不等式得其解集为(-2,1),故选C.3.(2012重庆,文3)设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=().A.1B.C.D.

2、2D由已知条件可知直线y=x过圆x2+y2=1的圆心,所以AB为圆x2+y2=1的直径,|AB|=2,故选D.4.(2012重庆,文4)(1-3x)5的展开式中x3的系数为().A.-270B.-90C.90D.270A(1-3x)5的展开式的通项为Tr+1=(-3)rxr,令r=3,则x3的系数为(-3)3=-270,故选A.5.(2012重庆,文5)=().A.-B.-C.D.C因为sin 47=sin(30+17)=sin 30cos 17+sin 17cos 30,所以原式=sin 30=,故选C.6.(2012重庆,文6)设xR,向量a=(x,1),b=(1,-2),且ab,则|a+

3、b|=().A.B.C.2D.10B因为ab,所以ab=x-2=0,解得x=2,a=(2,1),a+b=(3,-1),|a+b|=,故选B.7.(2012重庆,文7)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是().A.a=bcC.abbcBa=log23+log2=log23,b=log29-log2=log23,因此a=b,而log23log22=1,log32c,故选B.8.(2012重庆,文8)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf(x)的图象可能是().C由题意可得f(-2

4、)=0,而且当x(-,-2)时,f(x)0;当x(-2,+)时,f(x)0,此时若x(-2,0),xf(x)0,所以函数y=xf(x)的图象可能是C.9.(2012重庆,文9)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是().A.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)A四面体如图1所示.设AB=AC=BD=CD=1,AD=,BC=a,则a0,当A,B,C,D四点共面时,BC=(如图2所示).而此时A,B,C,D不能构成四面体,所以BC0,N=xR|g(x)0得x3或x0可化为g(x)3或g(x)3或3x-2log35或xlog35或x1,N

5、=xR|3x-22=xR|xlog34,所以MN=xR|x0,b0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.因为F1为左焦点,PF1垂直于x轴,所以P点坐标为.又因为P点为直线与双曲线的交点,所以-=1,即e2=1,所以e=.15.(2012重庆,文15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为(用数字作答).基本事件总数为=720,事件“相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”所包含的基本事件分两类,一类是相邻两节文化课之间恰好间隔1节艺术课有2=72,一类是相邻两节文化课

6、之间间隔1节或2节艺术课有=72,由古典概型概率公式得P=.16.(2012重庆,文16)已知an为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求an的通项公式;(2)记an的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.解:(1)设数列an的公差为d,由题意知解得a1=2,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)可得Sn=n(n+1).因a1,ak,Sk+2成等比数列,所以=a1Sk+2.从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0.解得k=6或k=-1(舍去).因此k=6.17.(2012重庆,文17)已知函数

7、f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.解:(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f(x)=3ax2+b,由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,故有即化简得解得a=1,b=-12.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c;f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x(-,-2)时,f(x)0,故f(x)在(-,-2)上为增函数;当x(-2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,+)上为增函数.由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=

8、16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28得c=12.此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在-3,3上的最小值为f(2)=-4.18.(2012重庆,文18)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(1)求乙获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.解:设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则P(Ak)=,P(Bk)=(k=1,2,3).(1)

9、记“乙获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=P()P(B1)+P()P()P()P(B2)+P()P()P()P()P()P(B3)=+=.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)=P(B2)+P(A3)=P()P()P()P(B2)+P()P()P()P()P(A3)=+=.19.(2012重庆,文19)设函数f(x)=Asin(x+)(其中A0,0,-)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x

10、)的解析式;(2)求函数g(x)=的值域.解:(1)由题设条件知f(x)的周期T=,即=,解得=2.因f(x)在x=处取得最大值2,所以A=2.从而sin=1,所以+=+2k,kZ.又由-得=.故f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=cos2x+1.因cos2x0,1,且cos2x,故g(x)的值域为.20.(2012重庆,文20)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.(1)求异面直线CC1和AB的距离;(2)若AB1A1C,求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值.解:(1)如图所示,因AC=BC,D为AB的中点,故CDAB.又直三

11、棱柱中,CC1面ABC,故CC1CD,所以异面直线CC1和AB的距离为CD=.(2)解法一:由CDAB,CDBB1,故CD面A1ABB1,从而CDDA1,CDDB1,故A1DB1为所求的二面角A1-CD-B1的平面角.因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影,又已知AB1A1C,由三垂线定理的逆定理得AB1A1D,从而A1AB1,A1DA都与B1AB互余,因此A1AB1=A1DA,所以RtA1ADRtB1A1A.因此=,得A=ADA1B1=8.从而A1D=2,B1D=A1D=2,所以在A1DB1中,由余弦定理得cosA1DB1=.(2)解法二:如图,过D作DD1AA1交A1B1于D1,在直三棱

12、柱中,由(1)知DB,DC,DD1两两垂直.以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设直三棱柱的高为h,则A(-2,0,0),A1(-2,0,h),B1(2,0,h),C(0,0),从而=(4,0,h),=(2,-h).由得=0,即8-h2=0,因此h=2.故=(-2,0,2),=(2,0,2),=(0,0).设平面A1CD的法向量为m=(x1,y1,z1),则m,m,即取z1=1,得m=(,0,1).设平面B1CD的法向量为n=(x2,y2,z2),则n,n,即取z2=-1,得n=(,0,-1).所以cos=.所以二面角A1-CD-B1的

13、平面角的余弦值为.21.(2012重庆,文21)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求PB2Q的面积.解:(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因AB1B2是直角三角形且|AB1|=|AB2|,故B1AB2为直角,从而|OA|=|OB2|,即b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=.在RtAB1B2中,

14、OAB1B2,故=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2,由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-.由PB2QB2,知=0,即16m2-64=0,解得m=2.当m=2时,方程(*)化为9y2-8y-16=0,故y1=,y2=,|y1-y2|=,PB2Q的面积S=|B1B2|y1-y2|=.当m=-2时,同理可得(或由对称性可得)PB2Q的面积S=.综上所述,PB2Q的面积为.