2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)理.docx

1、辽宁理科1.(2012辽宁,理1)已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=0,1,3,5,8,集合B=2,4,5,6,8,则(UA)(UB)=().A.5,8B.7,9C.0,1,3D.2,4,6B由已知条件可得UA=2,4,6,7,9,UB=0,1,3,7,9,所以(UA)(UB)=7,9,故选B.2.(2012辽宁,理2)复数=().A.-iB.+iC.1-iD.1+iA=-i,故选A.3.(2012辽宁,理3)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是().A.abB.abC.|a|=|b|D.a+b=a-bB|a+b|2=|a|2+2ab+

2、|b|2,|a-b|2=|a|2-2ab+|b|2,因为|a+b|=|a-b|,所以|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即2ab=-2ab,所以ab=0,ab.故选B.4.(2012辽宁,理4)已知命题p:x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,则􀱑p是().A.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0B.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0C.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0D.x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0C命题p是一个全称命题,其否定为存在性命题,i

3、1729;p:x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,故选C.5.(2012辽宁,理5)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为().A.33!B.3(3!)3C.(3!)4D.9!C完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,共有种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有,故选C.6.(2012辽宁,理6)在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=().A.58B.88C.143D.176B因为数列an为等差数列,所以S11=,根据等差数列的性质,若p+q=m+n,则ap+aq=

4、am+an得,a1+a11=a4+a8=16,所以S11=88,故选B.7.(2012辽宁,理7)已知sin -cos =,(0,),则tan =().A.-1B.-C.D.1A将sin -cos =两边平方得sin2-2sin cos +cos2=2,即sin cos =-,则=-,整理得2tan +tan2+1=0,即(tan +1)2=0,所以tan =-1.故选A.8.(2012辽宁,理8)设变量x,y满足则2x+3y的最大值为().A.20B.35C.45D.55D不等式组表示的平面区域如图所示,则2x+3y在A(5,15)处取得最大值,故选D.9.(2012辽宁,理9)执行如图所示

5、的程序框图,则输出的S值是().A.-1B.C.D.4D当i=1时,S=-1;i=2时,S=;i=3时,S=;i=4时,S=4;i=5时,S=-1;i=6时,S=;i=7时,S=;i=8时,S=4;i=9时,输出S,故选D.10.(2012辽宁,理10)在长为12 cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32 cm2的概率为().A.B.C.D.C设AC=x cm(0x12),则CB=12-x(cm),则矩形面积S=x(12-x)=12x-x20,解得0x4或8x32,而1+x+x2=31,所以A选项不正确;对于与1-x+x2,当x=时,=,1

6、-x+x2=,所以B选项不正确;令f(x)=cos x+x2-1,则f(x)=x-sin x0对x0,+)恒成立,f(x)在0,+)上为增函数,所以f(x)的最小值为f(0)=0,所以f(x)0,cos x1-x2,故C正确;令g(x)=ln(1+x)-x+x2,则g(x)=+x-1,令g(x)=0,得x=0或x=3.当x(0,3)时,g(x)0,g(x)在x=3时取得最小值g(3)=ln 4-3+0,所以D不正确.13.(2012辽宁,理13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.38由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱,长方体表面积为2(43+31+41)=

7、38,圆柱的侧面积为2,上下两个底面积和为2,所以该几何体的表面积为38+2-2=38.14.(2012辽宁,理14)已知等比数列an为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列an的通项公式an=.2n设数列an的首项为a1,公比为q,则q8=a1q9,a1=q,由2(an+an+2)=5an+1,得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=,因为数列an为递增数列,所以q=2,a1=2,an=2n.15.(2012辽宁,理15)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.-4由已知可设P(

8、4,y1),Q(-2,y2),点P,Q在抛物线x2=2y上,P(4,8),Q(-2,2).又抛物线可化为y=x2,y=x,过点P的切线斜率为y=4.过点P的切线为:y-8=4(x-4),即y=4x-8.又过点Q的切线斜率为y=-2,过点Q的切线为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.联立得x=1,y=-4,点A的纵坐标为-4.16.(2012辽宁,理16)已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为.正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得,如图所示,PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径,且PF平面AB

9、C.设正方体棱长为a,则3a2=12,a=2,AB=AC=BC=2.SABC=22=2.由VP-ABC=VB-PAC,得hSABC=222,所以h=,因此球心到平面ABC的距离为.17.(2012辽宁,理17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(1)求cos B的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin Asin C的值.解:(1)由已知2B=A+C,A+B+C=180,解得B=60,所以cos B=.(2)解法一:由已知b2=ac,及cos B=,根据正弦定理得sin2B=sin Asin C,所以sin Asin C=1-cos2B=.解法二:由已知

10、b2=ac,及cos B=,根据余弦定理得cos B=,解得a=c,所以A=C=B=60,故sin Asin C=.18.(2012辽宁,理18)如图,直三棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC=AA,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;(2)若二面角A-MN-C为直二面角,求的值.解:(1)证法一:连结AB,AC,由已知BAC=90,AB=AC,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,所以M为AB中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.证法二:取AB中点P,连结MP,NP,而M,N分别为AB与BC的中点,所

11、以MPAA,PNAC,所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,因此MN平面AACC.(2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系O-xyz,如图所示.设AA=1,则AB=AC=,于是A(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),A(0,0,1),B(,0,1),C(0,1),所以M,N.设m=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,由得可取m=(1,-1,).设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,由得可取n=(-3,-1,).因为A-MN-C为直二面角,所以mn=0,即-3+(-1)

12、(-1)+2=0,解得=.19.(2012辽宁,理19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和

13、方差D(X).附:2=,P(2k)0.050.01k3.8416.635解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而22列联表如下:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算,得2=3.030.因为3.030b0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=,bt1a.点A1,A2分别为C0的左,右顶点,C1与C0相交于A,B,C,D四点.(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2+y2=与C0相交于A,B,C,D四点,其中bt2a,t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,证明

14、:+为定值.(1)解:设A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=(x+a),直线A2B的方程为y=(x-a).由得y2=(x2-a2).由点A(x1,y1)在椭圆C0上,故+=1.从而=b2,代入得-=1(x-a,y0).(2)证明:设A(x2,y2),由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,得4|x1|y1|=4|x2|y2|,故=.因为点A,A均在椭圆上,所以b2=b2.由t1t2,知x1x2,所以+=a2.从而+=b2,因此+=a2+b2为定值.21.(2012辽宁,理21)设f(x)=ln(x+1)+ax+b(a,bR,a,b

15、为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.(1)求a,b的值;(2)证明:当0x2时,f(x)0时,2x+1+1=x+2,故+1.记h(x)=f(x)-,则h(x)=+-=-=.令g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当0x2时,g(x)=3(x+6)2-2160.因此g(x)在(0,2)内是递减函数,又由g(0)=0,得g(x)0,所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数,又h(0)=0,得h(x)0.于是当0x2时,f(x)0时,2x+1+1=x+2,故+1.令k(x)=ln(x+1)-x,则k(0)=0,k(x)=-1=0,故k(x)0,即ln(x+1)0时,f(x)x.记h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当0x2时,h(x)=f(x)+(x+6)f(x)-9x+(x+6)-9=3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)=(7x-18)0.因此h(x)在(0,2)内单调递减,又h(0)=0,所以h(x)0,即f(x)0时,-x,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f,则h(x)=所以|h(x)|1,因此k1.