2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷).docx

1、绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏)参考公式:样本数据x1,x2,xn的方差s2=1ni=1n(xi-x)2,其中x=1ni=1nxi.柱体的体积V=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.锥体的体积V=13Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(2019江苏,1)已知集合A=-1,0,1,6,B=x|x0,xR,则AB=.解析由题知AB=1,6.答案1,62.(2019江苏,2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.解析(a+2i)(

2、1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,a-2=0,a=2.答案23.(2019江苏,3)下图是一个算法流程图,则输出的S的值是.解析执行第一次S=S+x2=12,x=14否,循环,x=x+1=2;执行第二次S=S+x2=32,x=24否,循环,x=x+1=3;执行第三次S=S+x2=3,x=34否,循环,x=x+1=4;执行第四次S=S+x2=5,x=44是,输出S=5.答案54.(2019江苏,4)函数y=7+6x-x2的定义域是.解析要使式子有意义,则7+6x-x20,解得-1x7.答案-1,75.(2019江苏,5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差

3、是.解析由题知,该组数据平均值为6+7+8+8+9+106=8,所以该数据方差为16(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2=53.答案536.(2019江苏,6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.解析由已知男女同学共5名.从5名学生中任选2名,共有C52=10种选法.若选出的2人中恰有一名女生,有C31C21=6种选法.若选出的2人都是女生,有1种选法.所以所求的概率为P=6+110=710.答案7107.(2019江苏,7)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b0)

4、经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.解析双曲线x2-y2b2=1(b0)过点(3,4),32-42b2=1,解得b2=2,即b=2或b=-2(舍去).a=1,且双曲线的焦点在x轴上,双曲线的渐近线方程为y=2x.答案y=2x8.(2019江苏,8)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.解析an为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=0,9a1+982d=27,整理得a1+4d=3,即a1=3-4d,把代入解得d=2,a1=-5.S8=8a1+28d=16.答案169.(

5、2019江苏,9)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.解析长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,ABBCCC1=120.E为CC1的中点,CC1底面ABCD,CE为三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,CE=12CC1,VE-BCD=1312ABBCCE=1312ABBC12CC1=112ABBCCC1=112120=10.答案1010.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.解析当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时,切

6、点Q即为点P到直线x+y=0的最小距离的点,有y=x+4x=1-4x2=-1(x0),得x=2(-2舍).此时y=2+42=32,即切点Q(2,32),则切点Q到直线x+y=0的距离为d=|2+32|12+12=4,即为所求最小值.答案411.(2019江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.解析设点A(x0,y0),则y0=ln x0,又y=1x,当x=x0时,y=1x0,点A在曲线y=ln x 上的切线为y-y0=1x0(x-x0),即y-ln x0=xx0-1,代入点(-e,-1),

7、得-1-ln x0=-ex0-1,即x0ln x0=e,得x0=e,y0=1,故点A(e,1).答案(e,1)12.(2019江苏,12)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若ABAC=6AOEC,则ABAC的值是.解析如图,过点D作DFCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.又ABAC=6AOEC=3AD(AC-AE)=32(AB+AC)AC-13AB=32ABAC-13AB2+AC2-13ABAC=3223ABAC-13AB2+AC2=ABAC-12AB2+32AC2,得12AB2=32AC2,即|AB

8、|=3|AC|,故ABAC=3.答案313.(2019江苏,13)已知tantan+4=-23,则sin2+4的值是.解析由tantan+4=tantan+11-tan=tan(1-tan)tan+1=-23,得3tan2-5tan -2=0,解得tan =2或tan =-13.又sin2+4=sin 2cos4+cos 2sin4=22(sin 2+cos 2)=222sincos+cos2-sin2sin2+cos2=222tan+1-tan2tan2+1.(*)当tan =2时,(*)式=2222+1-2222+1=2215=210;当tan =-13时,(*)式=222-13+1-13

9、2-132+1=2213-19109=210.综上,sin2+4=210.答案21014.(2019江苏,14)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x(0,2时,f(x)=1-(x-1)2,g(x)=k(x+2),0x1,-12,10.若在区间(0,9上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.解析当x(0,2时,设y=f(x)=1-(x-1)2(x-1)2+y2=1(y0),结合f(x)是周期为4的奇函数,可作出f(x)的图象:当x(1,2时,g(x)=-12,又g(x)的周期为2,当x(3

10、,4(5,6(7,8时,g(x)=-12.由图可知:当x(1,2(3,4(5,6(7,8时,f(x)与g(x)的图象有2个交点,当x(0,1(2,3(4,5(6,7(8,9时,f(x)与g(x)的图象有6个交点.由图可知:当x(2,3(6,7时,f(x)与g(x)的图象无交点,当x(0,1(4,5(8,9时,f(x)与g(x)的图象有6个交点,由f(x)与g(x)的周期性可知:当x(0,1时,f(x)与g(x)的图象有2个交点.如图,当y=k(x+2)与圆弧:(x-1)2+y2=1(00)k=24.当y=k(x+2)过点A(-2,0)与B(1,1)时,k=13.13k0,所以cos B=2si

11、n B0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=255.16.(本小题满分14分)(2019江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E.证明(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC,所以C1CBE

12、.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.17.(本小题满分14分)(2019江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=52.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0

13、),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2x轴,所以DF2=DF12-F1F22=522-22=32.因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)(解法一)由(1)知,椭圆C:x24+y23=1,a=2.因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.将x=-115代入y

14、=2x+2,得y=-125.因此B-115,-125.又F2(1,0),所以直线BF2:y=34(x-1).由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.因此E-1,-32.(解法二)由(1)知,椭圆C:x24+y23=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而BF1E=B.因为F2A=F2B,所以A=B.所以A=BF1E,从而EF1F2A.因为AF2x轴,所以EF1x轴.因为F1(-1,0),由x=-1,x2

15、4+y23=1,得y=32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.因此E-1,-32.18.(本小题满分16分)(2019江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规

16、划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.解(解法一)(1)过A作AEBD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PBAB,所以cosPBD=sinABE=810=45.所以PB=BDcosPBD=1245=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE2+ED2=10,从而cosBAD=AD2+AB2-BD22ADAB=7250,所以BA

17、D为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).(解法二)

18、(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34.因为PBAB,所以直线PB的斜率为-43,直线PB的方程为y=-43x-253.所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连接AD

19、,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=-34x+6(-4x4).在线段AD上取点M3,154,因为OM=32+154232+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a4),得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上所有点到点O的

20、距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).19.(本小题满分16分)(2019江苏,19)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cR,f(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若ab,b=c,且f(x)和f(x)的零点均在集合-3,1,3中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M427.解(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)

21、(x-b)(x-c)=(x-a)3.因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.(2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,从而f(x)=3(x-b)x-2a+b3.令f(x)=0,得x=b或x=2a+b3.因为a,b,2a+b3都在集合-3,1,3中,且ab,所以2a+b3=1,a=3,b=-3.此时,f(x)=(x-3)(x+3)2,f(x)=3(x+3)(x-1).令f(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)

22、=(1-3)(1+3)2=-32.(3)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为00,则f(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2).由f(x)=0,得x1=b+1-b2-b+13,x2=b+1+b2-b+13.列表如下:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值M=f(x1).(解法一)M=f(x1)=x13-(b+1)x12+bx1=3x12-2(b+1)x1+bx13-b+19-2(b2-b+1)9x1+b(b+1)9=-2(b2

23、-b+1)(b+1)27+b(b+1)9+227(b2-b+1)3=b(b+1)27-2(b-1)2(b+1)27+227(b(b-1)+1)3b(b+1)27+227427.因此M427.(解法二)因为00.因为ckbkck+1,所以qk-1kqk,其中k=1,2,3,m.当k=1时,有q1;当k=2,3,m时,有lnkkln qlnkk-1.设f(x)=lnxx(x1),则f(x)=1-lnxx2.令f(x)=0,得x=e.列表如下:x(1,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)极大值因为ln22=ln862.解当x2,解得x2,即x12时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1.综上,原

24、不等式的解集为xx1.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)(2019江苏,22)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,n4,nN*.已知a32=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+3)n=a+b3,其中a,bN*,求a2-3b2的值.解(1)因为(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn,n4,所以a2=Cn2=n(n-1)2,a3=Cn3=n(n-1)(n-2)6,a4=Cn4=n(n-1)(n-2)(n-3)24.因为a32=2a2a4,所以n(n-

25、1)(n-2)62=2n(n-1)2n(n-1)(n-2)(n-3)24.解得n=5.(2)由(1)知,n=5.(1+3)n=(1+3)5=C50+C513+C52(3)2+C53(3)3+C54(3)4+C55(3)5=a+b3.(解法一)因为a,bN*,所以a=C50+3C52+9C54=76,b=C51+3C53+9C55=44,从而a2-3b2=762-3442=-32.(解法二)(1-3)5=C50+C51(-3)+C52(-3)2+C53(-3)3+C54(-3)4+C55(-3)5=C50-C513+C52(3)2-C53(3)3+C54(3)4-C55(3)5.因为a,bN*,

26、所以(1-3)5=a-b3.因此a2-3b2=(a+b3)(a-b3)=(1+3)5(1-3)5=(-2)5=-32.23.(本小题满分10分)(2019江苏,23)在平面直角坐标系xOy中,设点集An=(0,0),(1,0),(2,0),(n,0),Bn=(0,1),(n,1),Cn=(0,2),(1,2),(2,2),(n,2),nN*.令Mn=AnBnCn.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n3),求概率P(Xn)(用n表示).解(1)当n=1时,X的所有可能取值是1,2,2,5.X的概率分布为P(X=

27、1)=7C62=715,P(X=2)=4C62=415,P(X=2)=2C62=215,P(X=5)=2C62=215.(2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点.因为P(Xn)=1-P(Xn),所以仅需考虑Xn的情况.若b=d,则ABn,不存在Xn的取法;若b=0,d=1,则AB=(a-c)2+1n2+1,所以Xn当且仅当AB=n2+1,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;若b=0,d=2,则AB=(a-c)2+4n2+4.因为当n3时,(n-1)2+4n,所以Xn当且仅当AB=n2+4,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;若b=1,d=2,则AB=(a-c)2+1n2+1,所以Xn当且仅当AB=n2+1,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法.综上,当Xn时,X的所有可能取值是n2+1和n2+4,且P(X=n2+1)=4C2n+42,P(X=n2+4)=2C2n+42.因此,P(Xn)=1-P(X=n2+1)-P(X=n2+4)=1-6C2n+42.