2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅱ).docx

1、绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷,理)本试卷共5页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分

2、,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2019全国,理1)设集合A=x|x2-5x+60,B=x|x-10,则AB=()A.(-,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+)解析由题意,得A=x|x3,B=x|x1,所以AB=x|x1,故选A.答案A2.(2019全国,理2)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由z=-3+2i,得z=-3-2i,则在复平面内z对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.答案C3.(2019全国,理3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则A

3、BBC=()A.-3B.-2C.2D.3解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以ABBC=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.答案C4.(2019全国,理4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离

4、为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.设=rR,由于的值很小,因此在近似计算中33+34+5(1+)233,则r的近似值为()A.M2M1RB.M22M1RC.33M2M1RD.3M23M1R解析由=rR,得r=R.M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3,M1R2(1+)2+M22R2=(1+)M1R2,即M2M1=2(1+)3-1(1+)2=5+34+33(1+)233,解得3M23M1.r=R3M23M1R.答案D5.(2019全国,理5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去

5、掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差解析设9位评委的评分按从小到大排列为x1x2x3x4x8x9.对于A,原始评分的中位数为x5,去掉最低分x1,最高分x9后,剩余评分的大小顺序为x2x3b,则()A.ln(a-b)0B.3a0D.|a|b|解析取a=2,b=1,满足ab.但ln(a-b)=0,排除A;3a=9,3b=3,3a3b,排除B;y=x3是增函数,ab,a3b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足ab,但|a|0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.

6、8解析y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故选D.答案D9.(2019全国,理9)下列函数中,以2为周期且在区间4,2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|解析y=|cos 2x|的图象为,由图知y=|cos 2x|的周期为2,且在区间4,2内单调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为,由图知它的周期为2,但在区间4,2内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2,不符合题意;y=sin

7、|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.答案A10.(2019全国,理10)已知0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.255解析2sin 2=cos 2+1,4sin cos =2cos2.0,2,cos 0,sin 0,2sin =cos .又sin2+cos2=1,5sin2=1,即sin2=15.sin 0,sin =55.故选B.答案B11.(2019全国,理11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率

8、为()A.2B.3C.2D.5解析如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故选A.答案A12.(2019全国,理12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时,f(x)=x(x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m的取值范围是()A.-,94B.-,73C.-,52D.-,83解析f(x+1)=2f(x),f(x)=2f(x-1).当

9、x(0,1时,f(x)=x(x-1),f(x)的图象如图所示.当2x3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x2-45x+56=0,即(3x-7)(3x-8)=0,解得x1=73,x2=83.当x(-,m时,f(x)-89恒成立,即m73,故m-,73.答案B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2019全国,理13)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为

10、.解析由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为100.97+200.98+100.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为39.240=0.98.答案0.9814.(2019全国,理14)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=.解析ln 2(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,f(-ln 2)=-8.当x0时,f(x)=-eax,f(-ln 2)=-e-aln 2=-8,e-aln 2=8,-aln 2=ln 8,-a=3,a=-3.答案-315.(2019全国,理15)ABC

11、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.解析b2=a2+c2-2accos B,(2c)2+c2-22cc12=62,即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).a=2c=43.SABC=12acsin B=12432332=63.答案6316.(2019全国,理16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在

12、同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分.)图1图2解析由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=22x,所以GH=222x+x=(2+1)x=1,解得x=12+1=2-1,即该半正多面体的棱长为2-1.答案262-1三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

13、。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(2019全国,理17)(12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.(1)证明由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=45,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,DA的方向为x

14、轴正方向,|DA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC1=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则CBn=0,CEn=0,即x=0,x-y+z=0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则CC1m=0,CEm=0,即2z=0,x-y+z=0,所以可取m=(1,1,0).于是cos=nm|n|m|=-12.所以,二面角B-EC-C1的正弦值为32.18.(2019全国,理18)(12分)11分制乒乓球

15、比赛,每赢一球得1分.当某局打成1010平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方1010平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.(1)证明X=2就是1010平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)解X=4且甲获胜,就是1010平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为

16、:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.19.(2019全国,理19)(12分)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.(1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1

17、=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以an-bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1.所以an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12,bn=12(an+bn)-(an-bn)=12n-n+12.20.(2019全国,理20)(12分)已知函数f(x)=ln x-x+1x-1.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.(1)解f(x)的定义域为(0,1)(1,+).因为f(x)=1x+2

18、(x-1)20,所以f(x)在区间(0,1),(1,+)内单调递增.因为f(e)=1-e+1e-10,所以f(x)在区间(1,+)内有唯一零点x1,即f(x1)=0.又01x10).由y=kx,x24+y22=1,得x=21+2k2.记u=21+2k2,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为k2,方程为y=k2(x-u).由y=k2(x-u),x24+y22=1,得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.()设G(xG,yG),则-u和xG是方程()的解,故xG=u(3k2+2)2+k2,由此得yG=uk32+k2.从而直线PG的斜率为uk32+k2-

19、uku(3k2+2)2+k2-u=-1k.所以PQPG,即PQG是直角三角形.由得|PQ|=2u1+k2,|PG|=2ukk2+12+k2,所以PQG的面积S=12|PQ|PG|=8k(1+k2)(1+2k2)(2+k2)=8(1k+k)1+2(1k+k)2.设t=k+1k,则由k0,得t2,当且仅当k=1时取等号.因为S=8t1+2t2在区间2,+)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为169.因此,PQG面积的最大值为169.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修44:坐标系与参数方程(2019全国,理

20、22)(10分)在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.解(1)因为M(0,0)在C上,当0=3时,0=4sin 3=23.由已知得|OP|=|OA|cos 3=2.设Q(,)为l上除P的任意一点.在RtOPQ中,cos-3=|OP|=2.经检验,点P2,3在曲线cos-3=2上.所以,l的极坐标方程为cos-3=2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因为P在

21、线段OM上,且APOM,故的取值范围是4,2.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,4,2.23.选修45:不等式选讲(2019全国,理23)(10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若x(-,1)时,f(x)0,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时,f(x)=-2(x-1)20;当x1时,f(x)0.所以,不等式f(x)0的解集为(-,1).(2)因为f(a)=0,所以a1.当a1,x(-,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0.所以,a的取值范围是1,+).