2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(重庆卷).docx

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆文科数学数学试题卷(文史类)共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015重庆,

2、文1)已知集合A=1,2,3,B=1,3,则AB=()A.2B.1,2C.1,3D.1,2,3答案:C解析:因为A=1,2,3,B=1,3,所以AB=1,3.2.(2015重庆,文2)“x=1”是“x2-2x+1=0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当x=1时,x2-2x+1=12-21+1=0;当x2-2x+1=0时,有(x-1)2=0,即x=1,故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.3.(2015重庆,文3)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是()A.-3,1B.(-3,1)C.(-,-31,+)D.(

3、-,-3)(1,+)答案:D解析:要使函数有意义,应满足x2+2x-30,解得x1或x0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.12B.22C.1D.2答案:C解析:依题意知A1(-a,0),A2(a,0),F(c,0),不妨设点B在点F的上方,点C在点F的下方,则Bc,b2a,Cc,-b2a,因为A1BA2C,所以kA1BkA2C=-1.而kA1B=b2a-0c-(-a)=b2a(c+a),kA2C=0-b2aa-c=b2a(a-c),所以b2a(c+a)b2a(a-c)=-1,即b4a2

4、(a2-c2)=-1,所以b4=a2b2,从而b2=a2,即b=a,所以ba=1,故双曲线的渐近线的斜率为1.10.(2015重庆,文10)若不等式组x+y-20,x+2y-20,x-y+2m0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()A.-3B.1C.43D.3答案:B解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m-1.这时平面区域为三角形ABC.由x+y-2=0,x+2y-2=0,解得x=2,y=0,则A(2,0).由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,则B(1-m,1+

5、m).同理C2-4m3,2+2m3,M(-2m,0).因为SABC=SABM-SACM=12(2+2m)(1+m)-2+2m3=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-30,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为.答案:32解析:因为a,b0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x1,y3),于是a+1+b+3=x+y,而(x+y)2=x+y+2xyx+y+(x+y)=18,所以x+y32.此时x=y,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,a+1+b+3的最大值为32.1

6、5.(2015重庆,文15)在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为.答案:23解析:当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,应有=(2p)2-4(3p-2)0,x1+x2=-2p0,0p5,解得p2或p1,p0,p23,0p5,所以23p1或2p5,即p23,12,5,由几何概型的概率计算公式可知所求概率为1-23+(5-2)5=23.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,文16)已知等差数列an满足a3=2,前3项和S

7、3=92.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b1=a1,b4=a15,求bn的前n项和Tn.解:(1)设an的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+322d=92,化简得a1+2d=2,a1+d=32,解得a1=1,d=12,故通项公式an=1+n-12,即an=n+12.(2)由(1)得b1=1,b4=a15=15+12=8.设bn的公比为q,则q3=b4b1=8,从而q=2,故bn的前n项和Tn=b1(1-qn)1-q=1(1-2n)1-2=2n-1.17.(本小题满分13分,(1)小问10分,(2)小问3分)(2015重庆,文17)随着我国经济的发展,居民的储蓄存

8、款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程y=bt+a;(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附:回归方程y=bt+a中,b=i=1ntiyi-nt yi=1nti2-nt2,a=y-bt.解:(1)列表计算如下:itiyiti2tiyi11515226412337921448163255102550153655120这里n=5,t=1ni=1nti=155=3,y=1ni=1nyi=365=7.2.又ltt=i=1nti2

9、-nt2=55-532=10,lty=i=1ntiyi-nt y=120-537.2=12,从而b=ltyltt=1210=1.2,a=y-bt=7.2-1.23=3.6,故所求回归方程为y=1.2t+3.6.(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y=1.26+3.6=10.8(千亿元).18.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,文18)已知函数f(x)=12sin 2x-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x2,时,求g

10、(x)的值域.解:(1)f(x)=12sin 2x-3cos2x=12sin 2x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-3-32,因此f(x)的最小正周期为,最小值为-2+32.(2)由条件可知:g(x)=sinx-3-32.当x2,时,有x-36,23,从而sinx-3的值域为12,1,那么sinx-3-32的值域为1-32,2-32.故g(x)在区间2,上的值域是1-32,2-32.19.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2015重庆,文19)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2

11、)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.解:(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-43处取得极值,所以f-43=0,即3a169+2-43=16a3-83=0,解得a=12.(2)由(1)得g(x)=12x3+x2ex,故g(x)=32x2+2xex+12x3+x2ex=12x3+52x2+2xex=12x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)

12、内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.20.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2015重庆,文20)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=2,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,从而PEAB.因ABC=2,EFBC,故ABE

13、F.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)解:设BC=x,则在直角ABC中,AB=AC2-BC2=36-x2,从而SABC=12ABBC=12x36-x2.由EFBC知,AFAB=AEAC=23,得AFEABC,故SAFESABC=232=49,即SAFE=49SABC.由AD=12AE,SAFD=12SAFE=1249SABC=29SABC=19x36-x2,从而四边形DFBC的面积为SDFBC=SABC-SAFD=12x36-x2-19x36-x2=718x36-x2.由(1)知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角PEC中,PE

14、=PC2-EC2=42-22=23.体积VP-DFBC=13SDFBCPE=13718x36-x223=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x0,可得x=3或x=33.所以,BC=3或BC=33.21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2015重庆,文21)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=|PF1|,且3443,试确定椭圆离心率e的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF

15、1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)如图,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1+2|PF1|.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.于是(1+1+2)|PF1|=4a,解得|PF1|=4a1+1+2,故|PF2|=2a-|PF1|=2a(+1+2-1)1+1+2.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而4a1+1+22+2a(+1+2-1)1+1+22=4c2,两边除以4a2,得4(1+1+2)2+(+1+2-1)2(1+1+2)2=e2.若记t=1+1+2,则上式变成e2=4+(t-2)2t2=81t-142+12.由3443,并注意到1+1+2关于的单调性,得3t4,即141t13,进而12e259,即22e53.