2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(安徽卷).docx

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试安徽文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第1至第2页,第卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅

2、笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015安徽,文1)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i答案:C解析:由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选C.2.(2015安徽,文2)设全集

3、U=1,2,3,4,5,6,A=1,2,B=2,3,4,则A(UB)=()A.1,2,5,6B.1C.2D.1,2,3,4答案:B解析:由题意得UB=1,5,6,则A(UB)=1,因此选B.3.(2015安徽,文3)设p:x3,q:-1x3,则p是q成立的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由q:-1x3可以得到p:x0.005,继续循环,a=1+11+32=1+25=75,n=3;此时|a-1.414|0.005,继续循环,a=1+11+75=1+512=1712,n=4;此时|a-1.414|0.0030,b0,d0B.a0,b0,

4、c0C.a0,b0,d0D.a0,b0,c0,d0,f(x)=3ax2+2bx+c,x1,x2为方程3ax2+2bx+c=0的两根,因此x1+x2=-2b3a,x1x2=c3a.由图象可知x(-,x1)时,f(x)0,所以a0.而由图象知x1,x2均为正数,所以-2b3a0,c3a0,由此可得b0,故选A.第卷(非选择题 共100分)考生注意事项:请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2015安徽,文11)lg52+2lg 2-12-1=.答案:-1解析:根据对数的运算法则知,lg

5、52+2lg 2-12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1.12.(2015安徽,文12)在ABC中,AB=6,A=75,B=45,则AC=.答案:2解析:由三角形内角和定理,得C=60,根据正弦定理,得ABsinC=ACsinB,所以AC=22632=2.13.(2015安徽,文13)已知数列an中,a1=1,an=an-1+12(n2),则数列an的前9项和等于.答案:27解析:由已知条件得an-an-1=12(n2),所以数列an是以1为首项,12为公差的等差数列,由等差数列前n项和公式得S9=91+98212=27.14.(2015安徽

6、,文14)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案:-12解析:在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-12.15.(2015安徽,文15)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)a为单位向量;b为单位向量;ab;bBC;(4a+b)BC答案:解析:在正三角形ABC中,AB=2a,|AB|=2,所以|a|=1,正确;由AB+BC=AC=2a+b,得BC=b,因此正确,不正确;由

7、AB与BC的夹角为120,知a与b的夹角为120,所以不正确;因为BC=b,所以(4a+b)BC=4ab+b2=412-12+22=0,所以(4a+b)BC.故正确.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)(2015安徽,文16)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解:(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin2x+4+

8、1,所以函数f(x)的最小正周期为T=22=.(2)由(1)的计算结果知,f(x)=2sin2x+4+1.当x0,2时,2x+44,54,由正弦函数y=sin x在4,54上的图象知,当2x+4=2,即x=8时,f(x)取最大值2+1;当2x+4=54,即x=2时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在0,2上的最大值为2+1,最小值为0.17.(本小题满分12分)(2015安徽,文17)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:40,50),50,60),80,90),90,100.

9、(1)求频率分布直方图中a的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;(3)从评分在40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在40,50)的概率.解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1,所以a=0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有:500.00610=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在40,50)的有:500.00410=2(人),记

10、为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,又因为所抽取2人的评分都在40,50)的结果有1种,即B1,B2,故所求的概率为p=110.18.(本小题满分12分)(2015安徽,文18)已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bn=an+1SnSn+1,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)由题设知a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,可解得a1=1,a4=

11、8或a1=8,a4=1(舍去).由a4=a1q3得公比q=2,故an=a1qn-1=2n-1.(2)Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,又bn=an+1SnSn+1=Sn+1-SnSnSn+1=1Sn-1Sn+1,所以Tn=b1+b2+bn=1S1-1S2+1S2-1S3+1Sn-1Sn+1=1S1-1Sn+1=1-12n+1-1.19.(本小题满分13分)(2015安徽,文19)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上,存在点M,使得ACBM,并求PMMC的值.(1)解:由题设AB=1,

12、AC=2,BAC=60,可得SABC=12ABACsin 60=32.由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=13SABCPA=36.(2)证明:在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM平面MBN,所以ACBM.在直角BAN中,AN=ABcosBAC=12,从而NC=AC-AN=32.由MNPA,得PMMC=ANNC=13.20.(本小题满分13分)(2015安徽,文20)设椭圆E的方程为x2a2+y

13、2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MNAB.(1)解:由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,又kOM=510,从而b2a=510.进而a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a2,-b2,可得NM=a6,5b6.又AB=(-a,b),从而有ABNM=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以AB

14、NM=0,故MNAB.21.(本小题满分13分)(2015安徽,文21)已知函数f(x)=ax(x+r)2(a0,r0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若ar=400,求f(x)在(0,+)内的极值.解:(1)由题意知x-r,所求的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当xr时,f(x)0.当-rx0.因此,f(x)的单调递减区间为(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在(0,+)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100.