2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理.docx
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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖南,理1)满足z+iz=i(i为虚数单位)的复数z=().A.12+12iB.12-12iC.-12+12iD.-12-12i答案:B解析:由已知,得z+i=zi,则z(1-i)=-i,即z=-i1-i=-i(1+i)(1-i)(1+i)=1-i2=12-i2.故选B.2.(2014湖南,理2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被
2、抽中的概率分别为p1,p2,p3,则().A.p1=p2p3B.p2=p3p1C.p1=p3y,则-xy,则x2y2.在命题pq;pq;p(q);(p)q中,真命题是().A.B.C.D.答案:C解析:由题易知命题p为真,命题q为假,则p为假,q为真.故pq为假,pq为真,p(q)为真,(p)q为假.故选C.6.(2014湖南,理6)执行如图所示的程序框图.如果输入的t-2,2,则输出的S属于().A.-6,-2B.-5,-1C.-4,5D.-3,6答案:D解析:由题意知,当
3、-2t0时,y=2t2+1,得y(1,9.故当t0,2(1,9=0,9时,S=t-3,S-3,6.故选D.7.(2014湖南,理7)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于().A.1B.2C.3D.4答案:B解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此时球的半径与ABC内切圆的半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B.8.(2014湖南,理8)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p
4、,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为().A.p+q2B.(p+1)(q+1)-12C.pqD.(p+1)(q+1)-1答案:D解析:设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=(p+1)(q+1)-1,故选D.9.(2014湖南,理9)已知函数f(x)=sin(x-),且023 f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是().A.x=56B.x=712C.x=3D.x=6答案:A解析:由已知,得023 sin(x-)dx=-cos(x-)|023=-cos
5、23-+cos(-)=0,即=23-+2n,nZ,或=-23-+2n,nZ,解得=n+3,nZ,或0=-23+2n,nZ(舍去),故f(x)=sinx-n-3,nZ.令x-n-3=k+2,kZ,得x=m+56,mZ.令m=0,得x=56,故选A.10.(2014湖南,理10)已知函数f(x)=x2+ex-12(x0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-12,作函数M(x)=e-x-12的图象,显然当a0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.当a0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则ln a12,则0ae.综上ae.故选B.二、填空题:
6、本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.(2014湖南,理11)在平面直角坐标系中,倾斜角为4的直线l与曲线C:x=2+cos,y=1+sin(为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是.答案:(cos -sin )=1解析:由题意得曲线C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,故直线l过曲线C的圆心(2,1),则直线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故直线l的极坐标方程为(cos -sin )=1
7、.12.(2014湖南,理12)如图,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB=3,BC=22,则O的半径等于.答案:32解析:如右图,由已知AOBC,可得E是BC的中点,即BE=2,故AE=AB2-BE2=1.在RtBOE中,OB2=BE2+OE2,即r2=(2)2+(r-1)2,解得r=32.13.(2014湖南,理13)若关于x的不等式|ax-2|3的解集为x-53x13,则a=.答案:-3解析:由|ax-2|3,得-1ax5.若a0,显然不符合题意,当a0时,解得5ax-1a,故-1a=13,5a=-53,解得a=-3.(二)必做题(1416题)14.(2014湖南,理14)若变量x
8、,y满足约束条件yx,x+y4,yk,且z=2x+y的最小值为-6,则k=.答案:-2解析:画出可行域如图所示:画直线l0:y=-2x,平移直线l0,当过A(k,k)时,使得z最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2.15.(2014湖南,理15)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=.答案:1+2解析:由题意,知Ca2,-a,Fb+a2,b.又C,F在抛物线y2=2px(p0)上,所以a2=2pa2,b2=2pb+a2,由,得b2a2=2b+aa,即b2-2ba-a2=0,解得ba=12(负值舍去).故ba=1+2.16.(2014湖
9、南,理16)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是.答案:1+7解析:设动点D(x,y),则由|CD|=1,得(x-3)2+y2=1,D点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆.又OA+OB+OD=(x-1,y+3),所以|OA+OB+OD|=(x-1)2+(y+3)2,故|OA+OB+OD|的最大值为点(3,0)与(1,-3)之间的距离与1的和,即(3-1)2+(0+3)2+1=1+7.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014湖
10、南,理17)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.分析:在第(1)问中,考虑到欲求概率的事件包含的互斥事件较多,因此可先求其对立事件的概率,再根据互为对立事件的概率之和为1,求得原事件的概率.在第(2)问中,先列出该企业所获利润的所有可能的取值,然后用相互独立事件的概率公式求出各个概率值,列出表格即得分布列,最后利用数
11、学期望的定义求得期望值.解:记E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功.由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E与F,E与F,E与F,E与F都相互独立.(1)记H=至少有一种新产品研发成功,则H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=1325=215,故所求的概率为P(H)=1-P(H)=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220.因P(X=0)=P(EF)=1325=215,P(X=100)=P(EF)=1335=315,P(X=120)=P(EF)=2325=415,P(X=220)=P(
12、EF)=2335=615,故所求的分布列为X0100120220P215315415615数学期望为E(X)=0215+100315+120415+220615=300+480+1 32015=2 10015=140.18.(本小题满分12分)(2014湖南,理18)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的长.分析:对于第(1)问,由已知ACD中三边求角,很容易想到利用余弦定理进行求解.对于第(2)问,目标为求BC的长度,而BC是ABC中的边.又AC已知,AC所对的角CBA的正弦已知,所
13、以联想到利用正弦定理来求,但需要BAC的正弦值.而已知中有cosBAD的值,发现BAC=BAD-CAD,因此用两角差的正弦公式求得sinBAC,从而问题得解.解:(1)如题图,在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD.故由题设知,cosCAD=7+1-427=277.(2)如题图,设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=277,cosBAD=-714,所以sinCAD=1-cos2CAD=1-2772=217,sinBAD=1-cos2BAD=1-7142=32114.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsin
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