2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)理.docx

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)本试卷分第卷和第卷两部分,满分150分,考试时间120分钟.参考公式2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)第卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014江西,理1)z是z的共轭复数,若z+z=2,(z-z)i=2(i为虚数单位),则z=(). A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案:D解析:设z=a+bi(aR,bR),则z=a-bi.由z+z=2,得2a=2,即a=1;又由(z-z)i=2,得2bii=2,即b=-1.故z=

2、1-i.2.(2014江西,理2)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为().A.(0,1)B.0,1C.(-,0)(1,+)D.(-,01,+)答案:C解析:由题意可知x2-x0,解得x1.故函数f(x)的定义域为(-,0)(1,+).3.(2014江西,理3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(aR),若fg(1)=1,则a=().A.1B.2C.3D.-1答案:A解析:由题意可知fg(1)=1=50,得g(1)=0,则a-1=0,即a=1.故选A.4.(2014江西,理4)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=3,则ABC的面积

3、是().A.3B.932C.332D.33答案:C解析:在ABC中,由已知条件及余弦定理可得c2=(a-b)2+6=a2+b2-2abcos 3,整理得ab=6,再由面积公式S=12absin C,得SABC=126sin3=323.故选C.5.(2014江西,理5)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是().答案:B解析:俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何体可知选B.6.(2014江西,理6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是().表1成绩性别不及格及格总计男6

4、1420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量答案:D解析:根据2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),代入题中数据计算得D选项2最大.故选D.7.(2014江西,理7)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为().A.7B.9C.10D.11答案:B解析:通过对程序框图的分析可知,该循环是一个根据判断条件不断累加的过程,i=7时,S=

5、0+lg13+lg35+lg57+lg79=lg19-1,i=9时,S=0+lg13+lg35+lg57+lg79+lg911=lg111711,所以连接A1E并延长交D1C1于点F,过点F作FM垂直DC于点M.在矩形AA1FM中分析反射情况:由于AM=35310,第二次反射点为E1在线段AM上,此时E1M=53,第三次反射点为E2在线段FM上,此时E2M=4,第四次反射点为E3在线段A1F上,由图可知,应选C.二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.11.(2014江西,理11)(1)(

6、不等式选做题)对任意x,yR,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为().A.1B.2C.3D.4(2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为().A.=1cos+sin,02B.=1cos+sin,04C.=cos +sin ,02D.=cos +sin ,04(1)答案:C解析:|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)x0,(1-y)(1+y)0,即0x1,

7、-1y1时等号成立,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.(2)答案:A解析:由x=cos ,y=sin ,y=1-x可得sin =1-cos ,即=1cos+sin,再结合线段y=1-x(0x1)在极坐标系中的情形,可知0,2.因此线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为=1cos+sin,02.故选A.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.12.(2014江西,理12)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是.答案:12解析:本题属于古典概型,由古典概型概率公式可得所求概率为C31C73C104=12.13.(2014江西,理1

8、3)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案:(-ln 2,2)解析:设点P的坐标是(x0,e-x0),则由题意知,y|x=x0=-e-x0=-2,得x0=-ln 2,又e-x0=eln 2=2,故点P的坐标是(-ln 2,2).14.(2014江西,理14)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos =13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为,则cos =.答案:223解析:由已知得cos =ab|a|b|=(3e1-2e2)(3e1-e2)a2b2=9|e1|2-9e1e2+2|e2|29|e1|2+4|e2|2-12e1e29|e1|2+

9、|e2|2-6e1e2,e1与e2是单位向量,其夹角为,且cos =13,|e1|2=|e2|2=1,e1e2=|e1|e2|cos =13.cos =9-913+29+4-12139+1-613=232.15.(2014江西,理15)过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案:22解析:由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得x12a2+y12b2=1(ab0),x22a2+y22b2=1(ab0).-,并整理得x1+x2a2(y1+y2)=-y1-y2b2(x1-x2).(*)

10、M是线段AB的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-12,x1+x2=2,y1+y2=2,k=y1-y2x1-x2=-12.(*)式可化为1a2=12b2,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即c2a2=12.e=ca=22.四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014江西,理16)已知函数f(x)=sin(x+)+acos(x+2),其中aR,-2,2.(1)当a=2,=4时,求f(x)在区间0,上的最大值与最小值;(2)若f2=0,f()=1,求a,的值.分析:(1)先将a=2,=4代入f(x),再利用

11、两角和的正弦公式和余弦公式对f(x)进行化简,最终化成一个三角函数值的形式,根据所给角的范围,借助于数形结合求出最大值和最小值;(2)利用所给条件列出方程联立成方程组求出a,.解:(1)f(x)=sinx+4+2cosx+2=22(sin x+cos x)-2sin x=22cos x-22sin x=sin4-x,因为x0,从而4-x-34,4.故f(x)在0,上的最大值为22,最小值为-1.(2)由f2=0,f()=1,得cos(1-2asin)=0,2asin2-sin-a=1,又-2,2,知cos 0,解得a=-1,=-6.17.(本小题满分12分)(2014江西,理17)已知首项都是

12、1的两个数列an,bn(bn0,nN*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=anbn,求数列cn的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和Sn.分析:(1)根据cn=anbn,将anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0转化,将cn构造成等差数列,利用等差数列的知识求出通项cn.(2)借助于(1)的结论可先求出an,利用求数列前n项和的方法(本题用错位相减法)求出an的前n项和Sn.解:(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN*),所以an+1bn+1-anbn=2,即cn+1-cn=2.所以数列cn是以首项c1=1

13、,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是数列an前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1,3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,相减得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n,所以Sn=(n-1)3n+1.18.(本小题满分12分)(2014江西,理18)已知函数f(x)=(x2+bx+b)1-2x(bR).(1)当b=4时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在区间0,13上单调递增,求b的取值范围.分析:(1)先将b=4代入f(x),再对f

14、(x)进行求导,求出导函数等于0时的根,再判断根附近的导函数值的符号,求出极值点,进而求出f(x)的极值.(2)由f(x)在区间0,13上单调递增,可知导函数f(x)在区间0,13上恒有f(x)0成立,依此求出b的取值范围.解:(1)当b=4时,f(x)=-5x(x+2)1-2x,由f(x)=0得x=-2或x=0.当x(-,-2)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x0,12时,f(x)0,f(x)单调递减,故f(x)在x=-2取极小值f(-2)=0,在x=0取极大值f(0)=4.(2)f(x)=-x5x+(3b-2)1-2x,因为当x0,13时,-x1-2x0)的右焦点为F,点A,B分别在C

15、的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l1:x0xa2-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=32相交于点N,证明:当点P在C上移动时,|MF|NF|恒为定值,并求此定值.分析:(1)先根据双曲线方程中a,b,c的关系列出一个方程,再根据其他已知条件AFx轴,ABOB,BFOA再列出一个方程,两个方程联立成方程组可求出a,进而得到双曲线C的方程.(2)利用解方程组的方法分别求出M,N点的坐标,再利用两点间的距离公式表示出|MF|2|NF|2,因点P(x0,y0)在曲线C上,用第(1)问的结论消去

16、y0,化简即可得到|MF|2|NF|2的值,进而确定|MF|NF|的值.解:(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=a2+1.直线OB方程为y=-1ax,直线BF的方程为y=1a(x-c),解得Bc2,-c2a.又直线OA的方程为y=1ax,则Ac,ca,kAB=ca-c2ac-c2=3a.又因为ABOB,所以3a-1a=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为x23-y2=1.(2)由(1)知a=3,则直线l的方程为x0x3-y0y=1(y00),即y=x0x-33y0.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点M2,2x0-33y0;直线l与直线x=32的交点为N32,32x0-3

17、3y0.则|MF|2|NF|2=(2x0-3)2(3y0)214+32x0-32(3y0)2=(2x0-3)29y024+94(x0-2)2=43(2x0-3)23y02+3(x0-2)2,因为P(x0,y0)是C上一点,则x023-y02=1,代入上式得|MF|2|NF|2=43(2x0-3)2x02-3+3(x0-2)2=43(2x0-3)24x02-12x0+9=43,所求定值为|MF|NF|=23=233.21.(本小题满分14分)(2014江西,理21)随机将1,2,2n(nN*,n2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数,A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最

18、大数为b2,记=a2-a1,=b2-b1.(1)当n=3时,求的分布列和数学期望;(2)令C表示事件“与的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C,C表示C的对立事件,判断P(C)和P(C)的大小关系,并说明理由.分析:(1)当n=3时就是具体的6个数,先指明的所有可能取值,再根据题意列出的分布列,利用数学期望公式求出的数学期望.(2)先确定和恰好相等时的可能取值,再确定取各个值时的不同分组方法,再分类求出P(C).(3)借助(2)的结论,先猜想P(C)与P(C)的大小关系,用数学归纳法证明猜想结论的正确性(注意利用排列组合的性质,适时应用放缩法证明).解:(1)当

19、n=3时,的所有可能取值为:2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有C63=20种,所以的分布列为:2345P1531031015E=215+3310+4310+515=72.(2)和恰好相等的所有可能取值为:n-1,n,n+1,2n-2.又和恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种;和恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;和恰好相等且等于n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有2C2kk种;所以当n=2时,P(C)=46=23,当n3时,P(C)=2(2+k=1n-2C2kk)C2kk.(3)由(2)当n=2时,P(C)=13,因此P(C)P

20、(C).而当n3时,P(C)P(C),理由如下:P(C)P(C)等价于4(2+k=1n-2C2kk)C2kk.用数学归纳法来证明.()当n=3时,式左边=4(2+C21)=4(2+2)=16,式右边=C63=20,所以式成立.()假设n=m(m3)时式成立,即4(2+k=1m-2C2kk)C2mm成立,那么,当n=m+1时,左边=4(2+k=1m+1-2C2kk)=4(2+k=1m-2C2kk)+4C2(m-1)m-1C2mm+4C2(m-1)m-1=(2m)!m!m!+4(2m-2)!(m-1)!(m-1)!=(m+1)2(2m)(2m-2)!(4m-1)(m+1)!(m+1)!(m+1)2(2m)(2m-2)!(4m)(m+1)!(m+1)!=C2(m+1)m+12(m+1)m(2m+1)(2m-1)C2(m+1)m+1=右边,即当n=m+1时式也成立.综合()()得:对于n3的所有正整数,都有P(C)P(C)成立.