2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)文.docx

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数学(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014大纲全国,文1)设集合M=1,2,4,6,8,N=1,2,3,5,6,7,则MN中元素的个数为().A.2B.3C.5D.7答案:B解析:M=1,2,4,6,8,N=1,2,3,5,6,7,MN=1,2,6,MN中元素的个数为3,故选B.2.(2014大纲全国,文2)已知角的终边经过点(-4,3),则cos =().A.45B.35C.-35D.-45答案:D解析:设角的终边上点(-4,3)到原点O的距离为r,则r=(-4)

2、2+32=5,由余弦函数的定义,得cos =xr=-45,故选D.3.(2014大纲全国,文3)不等式组x(x+2)0,|x|1的解集为().A.x|-2x-1B.x|-1x0C.x|0x1答案:C解析:x(x+2)0,|x|1,由得,x0,由得,-1x1,因此原不等式组的解集为x|0x-1)的反函数是().A.y=(1-ex)3(x-1)B.y=(ex-1)3(x-1)C.y=(1-ex)3(xR)D.y=(ex-1)3(xR)答案:D解析:由y=ln(3x+1),得ey=3x+1,3x=ey-1,x=(ey-1)3,f-1(x)=(ex-1)3.x-1,yR,即反函数的定义域为R.反函数为

3、y=(ex-1)3(xR),故选D.6.(2014大纲全国,文6)已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=().A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,=60,(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-|b|2=211cos 60-12=0,故选B.7.(2014大纲全国,文7)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有().A.60种B.70种C.75种D.150种答案:C解析:从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,故共有C62C51=65215=75种选法

4、,选C.8.(2014大纲全国,文8)设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=().A.31B.32C.63D.64答案:C解析:S2=3,S4=15,由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.9.(2014大纲全国,文9)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为43,则C的方程为().A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.

5、x212+y24=1答案:A解析:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,ca=33,abc=363.又过F2的直线l交椭圆于A,B两点,AF1B的周长为43,4a=43,a=3.b=2,椭圆方程为x23+y22=1,选A.10.(2014大纲全国,文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为().A.814B.16C.9D.274答案:A解析:由图知,R2=(4-R)2+2,R2=16-8R+R2+2,R=94,S表=4R2=48116=814,选A.11.(2014大纲全国,文11)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2

6、,焦点到渐近线的距离为3,则C的焦距等于().A.2B.22C.4D.42答案:C解析:e=2,ca=2.设焦点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离为3,渐近线方程为bx-ay=0,|bc-a0|b2+a2=3.c2=a2+b2,b=3.由ca=2,得cc2-b2=2,c2c2-3=4,解得c=2.焦距2c=4,故选C.12.(2014大纲全国,文12)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=().A.-2B.-1C.0D.1答案:D解析:奇函数f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),且f(0)=0.f(x+2)为偶函数,f(-x+2)

7、=f(x+2).f(x+2)+2=f(-x-2+2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x).f(x+8)=f(x+4)+4=-f(x+4)=-(-f(x)=f(x).f(x)是以8为周期的周期函数,f(8)=f(0)=0,f(9)=f(8+1)=f(1)=1.f(8)+f(9)=0+1=1.故选D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014大纲全国,文13)(x-2)6的展开式中x3的系数为.(用数字作答)答案:-160解析:由通项公式得T4=C63x6-3(-2)3=-8C63x3,故展开式中x3的系数为-8C63=-8654321=-160.14.(2014大纲

8、全国,文14)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为.答案:32解析:y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2sinx-122+32,当sin x=12时,ymax=32.15.(2014大纲全国,文15)设x,y满足约束条件x-y0,x+2y3,x-2y1,则z=x+4y的最大值为.答案:5解析:画出x,y的可行域如图阴影区域.由z=x+4y,得y=-14x+z4.先画出直线y=-14x,再平移直线y=-14x,当经过点B(1,1)时,z=x+4y取得最大值为5.16.(2014大纲全国,文16)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点

9、为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.答案:43解析:如图所示,设l1与圆O:x2+y2=2相切于点B,l2与圆O:x2+y2=2相切于点C,则OB=2,OA=10,AB=22.tan =OBAB=222=12.tanBAC=tan 2=2tan1-tan2=2121-14=43.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2014大纲全国,文17)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式

10、.(1)可用定义证明bn+1-bn=2(常数)即可.(2)利用(1)的结果,求出bn的通项公式及an+1-an的表达式,再用累加法可求数列an的通项公式.(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解:由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是k=1n(ak+1-ak)=k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.18.(本小题满分12分)(2014大纲全国

11、,文18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acos C=2ccos A,tan A=13,求B.分析:先由已知及正弦定理,将边的关系转化为角的关系,再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出tan C.根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B,即可求角B.解:由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=13,所以cos C=2sin C,tan C=12.所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=tanA+tanCtanAtanC-1=-1,即B=135.19.(本小题

12、满分12分)(2014大纲全国,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2.(1)证明:AC1A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,求二面角A1-AB-C的大小.分析:解法一:(1)由已知可证平面AA1C1C平面ABC,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直.(2)为利用已知,先寻找并证明AA1与平面BCC1B1的距离为A1E.再由三垂线定理,确定二面角A1-AB-C的平面角为A1FD.最后通过解直角三角形求出A1FD的正切值,即可得出二面角的大小.解法二:建立空间直角坐标系,利用向量

13、知识求解.(1)设出A1点坐标,确定点及向量坐标,利用数量积为0,证明线线垂直.(2)设法向量,由已知垂直关系,确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小.解法一:(1)证明:因为A1D平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC,所以BC平面AA1C1C.连结A1C.因为侧面AA1C1C为菱形,故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平面AA1C1C,BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1,E为垂足,则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1,因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,A1E=3.因

14、为A1C为ACC1的平分线,故A1D=A1E=3.作DFAB,F为垂足,连结A1F.由三垂线定理得A1FAB,故A1FD为二面角A1-AB-C的平面角.由AD=AA12-A1D2=1得D为AC中点,DF=12ACBCAB=55,tanA1FD=A1DDF=15.所以二面角A1-AB-C的大小为arctan 15.解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内.(1)证明:设A1(a,0,c),由题设有a2,A(2,0,0),B(0,1,0),则AB=(-2,1,0),AC=(-2,0

15、,0),AA1=(a-2,0,c),AC1=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,-1,c).由|AA1|=2得(a-2)2+c2=2,即a2-4a+c2=0.于是AC1BA1=a2-4a+c2=0,所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m=(x,y,z),则mCB,mBB1,即mCB=0,mBB1=0.因CB=(0,1,0),BB1=AA1=(a-2,0,c),故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c,则z=2-a,m=(c,0,2-a),点A到平面BCC1B1的距离为|CA|cos|=|CAm|m|=2cc2+(2-a)2=c.又依题设,A到平面BCC1B1的距离

16、为3,所以c=3.代入解得a=3(舍去)或a=1.于是AA1=(-1,0,3).设平面ABA1的法向量n=(p,q,r),则nAA1,nAB,即nAA1=0,nAB=0,-p+3r=0,且-2p+q=0.令p=3,则q=23,r=1,n=(3,23,1).又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量,故cos=np|n|p|=14.所以二面角A1-AB-C的大小为arccos14.20.(本小题满分12分)(2014大纲全国,文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)

17、实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立事件的概率可求.(2)由(1)分析k的可能取值情况,比较即得结果.解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备,E表示事件:同一工作日4人需使用设备,F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)D=A1BC+A2B+A2BC,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C2i0.52,i=0,1,2,

18、所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2BC)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2BC)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)由(1)知,若k=2,则P(F)=0.310.1.又E=BCA2,P(E)=P(BCA2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.若k=3,则P(F)=0.060或a0进行讨论.解:(1)f(x)=3ax2+6x+3,f(x)=0的判别式=36(1-a).若a1,则f(x)0,且f(x)=0当且仅当a=1,x=-1.故此时f(x)在R上是增函数.由于a0,故当a1时,f(x)=0有两个根:x1=-1+1-aa,

19、x2=-1-1-aa.若0a0,故f(x)分别在(-,x2),(x1,+)是增函数;当x(x2,x1)时f(x)0,故f(x)在(x2,x1)是减函数;若a0,则当x(-,x1)或(x2,+)时f(x)0,故f(x)在(x1,x2)是增函数.(2)当a0,x0时,f(x)=3ax2+6x+30,故当a0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.当a0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f(1)0且f(2)0,解得-54a0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=54|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与C相交

20、于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.分析:(1)设出Q点坐标,利用|QF|=54|PQ|列出关于p的方程,借助于p的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判断直线l与x轴不垂直.因直线l过F(1,0),可设l的方程为x=my+1(m0).直线l方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到y1+y2,y1y2关于m的表达式,借助弦长公式得|AB|=m2+1|y1-y2|(其中A(x1,y1),B(x2,y2),同理可得|MN|=1+1m2|y3-y4|(其中M(x3,y3),N(x4,y4).由题目中的A,M,B,N四点在同一圆上得到关于m的方程,进而求出m,得到直线l

21、的方程.解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.由题设得p2+8p=548p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-1my+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.