2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷2).docx

1、绝密 启用前试卷类型:A2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷2,文)本试题共23题,共150分,共4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题

2、:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i(2+3i)=A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i2.已知集合A=1,3,5,7,B=2,3,4,5,则AB=A.3B.5C.3,5D.1,2,3,4,5,73.函数f(x)=ex-e-xx2的图像大致为4.已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=A.4B.3C.2D.05.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为A.0.6B.0.5C.0.4D.0.36.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方

3、程为A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x7.在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB=A.42B.30C.29D.258.为计算S=1-12+13-14+199-1100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+49.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为A.22B.32C.52D.7210.若f(x)=cos x-sin x在0,a是减函数,则a的最大值是A.4B.2C.34D.11.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,

4、且PF2F1=60,则C的离心率为A.1-32B.2-3C.3-12D.3-112.已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=A.-50B.0C.2D.50二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.14.若x,y满足约束条件x+2y-50,x-2y+30,x-50.则z=x+y的最大值为.15.已知tan-54=15,则tan =.16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8.则该圆锥的体积为

5、.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.18.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型;y=-30.4+13.5t;根据

6、2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.19.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.20.(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

7、21.(12分)已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(0,2),求l的斜率.23.选修4-5:不等式选讲(10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1

8、)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.数学(全国卷2,文)1.Di(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.2.C集合A、B的公共元素为3,5,故AB=3,5.3.Bf(-x)=e-x-exx2=-f(x),f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=e10-1e101001,排除C、D,故选B.4.Ba(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.5.D设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女

9、1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P=310=0.3.6.Ae=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.双曲线交点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.7.Acos C=2cos2C2-1=-35,AB2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+21535=32.AB=42.8.B由于N=0,T=0,i=1,N=0+11=1,T=0+11+1=12,i=3,N=1+13,T=12+14,i=5最后输出S=N-T=1-12+13-14+199-1100,一次处理1i与1

10、i+1两项,故i=i+2.9.C取DD1的中点F,连接AC,EF,AF,则EFCD,故AEF为异面直线AE与CD所成的角.设正方体边长为2a,则易知AE=AC2+CE2=3a,AF=AD2+DF2=5a,EF=2a.cosAEF=(3a)2+(2a)2-(5a)223a2a=23.sinAEF=53.tanAEF=52.10.Cf(x)=cos x-sin x=222cosx-22sinx=2cosx+4,(方法1)作图如图所示.易知amax=34.(方法2)f(x)在2kx+42k+,kZ上为减函数,2k-4x2k+34,kZ,令k=0可知x-4,34,amax=34.11.D不妨设椭圆方程

11、为x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90,PF2F1=60,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.12.Cf(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(5

12、0)=f(1)+f(2)=2.13.y=2x-2y=(2ln x)=2x,当x=1时,y=2.切线方程为y=2(x-1),即y=2x-2.14.9由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.15.32tan-54=tan-tan541+tantan54=tan-11+tan=15,5tan -5=1+tan .tan =32.16.8SASB,SSAB=12SASB=8.SA=4.过点S连接底面圆心O,则SAO=30.SO=2,OA=23.V=13r2h=13(23)22=8.17.解 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=

13、-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.18.解 (1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.59=256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础

14、设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均

15、可得分)19.解 (1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.20.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)

16、(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2;由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的

17、方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.21.解 (1)当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.令f(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.当x(-,3-23)(3+23,+)时,f(x)0;当x(3-23,3+23)时,f(x)0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,仅当x=0时g(x)=0,所以g(x)在(-,+)单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a

18、-13=-6a-162-160,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.23.解 (1)当a=1时,f(x)=2x+4,x-1,2,-12.可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).