2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷).docx
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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津)理科数学1.(2017天津,理1)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=xR|-1x5,则(AB)C=()A.2B.1,2,4C.1,2,4,6D.xR|-1x5解析A=1,2,6,B=2,4,AB=1,2,4,6.C=xR|-1x5,(AB)C=1,2,4.故选B.答案B2.(2017天津,理2)设变量x,y满足约束条件2x+y0,x+2y-20,x0,y3,则目标函数z=x+y的最大值为()A.23B.1C.32D.3解析由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直
2、线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.答案D3.(2017天津,理3)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0B.1C.2D.3解析运行程序,当输入N的值为24时,24能被3整除,所以N=8.因为83不成立,且8不能被3整除,所以N=7.因为73不成立,且7不能被3整除,所以N=6.因为63不成立,且6能被3整除,所以N=2.因为23,所以输出N=2.故选C.答案C4.(2017天津,理4)设R,则“-1212”是“sin 12”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当-1212时,06,
3、0sin 12.“-1212”是“sin 12”的充分条件.当=-6时,sin =-1212,但不满足-1212.“-1212”不是“sin 12”的必要条件.“-1212”是“sin 0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1解析设双曲线半焦距为c(c0),则双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=bax.点P的坐标为(0,4),直线PF的斜率为k=4c.由题意得4c=ba.双曲线的离
4、心率为2,ca=2.在双曲线中,a2+b2=c2,联立解得a=b=22,c=4.所求双曲线的方程为x28-y28=1.故选B.答案B6.(2017天津,理6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bc0时,f(x)0,f(x)0.当x0时,g(x)=f(x)+xf(x)0恒成立,g(x)在(0,+)上是增函数.2log25.13,120.82,20.8log25.13.结合函数g(x)的性质得ba0,|2,118-58142,所以231.所以排除C,D
5、.当=23时,f58=2sin5823+=2sin512+=2,所以sin512+=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因为|1.设aR,若关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是()A.-4716,2B.-4716,3916C.-23,2D.-23,3916解析由函数f(x)=x2-x+3,x1,x+2x,x1易知f(x)0恒成立.关于x的不等式f(x)x2+a在R上恒成立,关于x的不等式-f(x)x2+af(x)在R上恒成立,即关于x的不等式-f(x)-x2af(x)-x2在R上恒成立.设p(x)=f(x)-x2,则p(x)=x2-32x+3,x1,x2
6、+2x,x1.当x1时,p(x)=x2-32x+3=x-342+3916,当x1时,p(x)min=3916.当x1时,p(x)=x2+2x2x22x=2,当且仅当x2=2x,即x=2时,取等号,当x1时,p(x)min=2.39162,p(x)min=2.设q(x)=-f(x)-x2,则q(x)=-x2+x2-3,x1,-3x2-2x,x1.当x1时,q(x)=-x2+x2-3=-x-142-4716,当x1时,q(x)max=-4716.当x1时,q(x)=-3x2-2x=-3x2+2x-23,当且仅当3x2=2x,即x=233时,取等号.当x1时,q(x)max=-23.-4716-23
7、,q(x)max=-4716.关于x的不等式-f(x)-x2af(x)-x2在R上恒成立,-4716a2.故选A.答案A9.(2017天津,理9)已知aR,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为.解析a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15-a+25i为实数,-a+25=0,即a=-2.答案-210.(2017天津,理10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.解析设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则2R=3a.正方体的表面积为18,6a2=18.a=3,R=32.该球的体积为V=43R3=43278=92.答
8、案9211.(2017天津,理11)在极坐标系中,直线4cos-6+1=0与圆=2sin 的公共点的个数为.解析4cos-6+1=0,展开得23cos +2sin +1=0,直线的直角坐标方程为23x+2y+1=0.=2sin 两边同乘得2=2sin ,圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.圆心到直线的距离d=|230+21+1|(23)2+22=340,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24时取等号.答案413.(2017天
9、津,理13)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60,AB=3,AC=2,ADAE=-4.ABAC=3212=3,23AC+13AB(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23ABAC=-4,234-139+3-233=-4,即113-5=-4,解得=311.答案31114.(2017天津,理14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这
10、样的四位数一共有个.(用数字作答)解析没有一个数字是偶数的四位数有A54=120个;有且只有一个数字是偶数的四位数有C41C53A44=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.答案1 08015.(2017天津,理15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ab,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b和sin A的值;(2)求sin2A+4的值.解(1)在ABC中,因为ab,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB,得sin
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