2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷).docx
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1、绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京,理)本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.(2019北京,理1)已知复数z=2+i,则zz=() A.3B.5C.3D.5解析z=2+i,z=2-i.zz=(2+i)(2-i)=5. 故选D.答案D2.(2019北京,理2)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.1B.2C.3D.4解析运行第一次,k=1,s=21231
2、-2=2,运行第二次,k=2,s=22232-2=2,运行第三次,k=3,s=22232-2=2,结束循环,输出s=2,故选B.答案B逐次运行,直到满足k3时,结束循环,输出s.3.(2019北京,理3)已知直线l的参数方程为x=1+3t,y=2+4t(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是()A.15B.25C.45D.65解析直线l的普通方程为4(x-1)-3(y-2)=0,即4x-3y+2=0,点(1,0)到直线l的距离d=|4-0+2|42+32=65,故选D.答案D4.(2019北京,理4)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=
3、4b2C.a=2bD.3a=4b解析椭圆的离心率e=ca=12,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.答案B根据椭圆离心率的定义,列关于a,b,c的等式求解.5.(2019北京,理5)若x,y满足|x|1-y,且y-1,则3x+y的最大值为()A.-7B.1C.5D.7解析由题意得-1y1,y-1x1-y,作出可行域如图阴影部分所示.设z=3x+y,y=z-3x,当直线l0:y=z-3x经过点(2,-1)时,z取最大值5.故选C.答案C6.(2019北京,理6)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,其中星等为mk的星的亮
4、度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1解析两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,令m2=-1.45,m1=-26.7,则lgE1E2=25(m2-m1)=25(-1.45+26.7)=10.1,E1E2=1010.1,故选A.答案A先求出lgE1E2,然后将对数式换为指数式求E1E2.7.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件
5、D.既不充分也不必要条件解析A,B,C三点不共线,|AB+AC|BC|AB+AC|AB-AC|AB+AC|2|AB-AC|2ABAC0AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的充分必要条件,故选C.答案C8.(2019北京,理8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.B.C.D.解析由x2+y2=1+|x|y得y2-|x|
6、y=1-x2,即y-|x|22=1-3x24,即1-3x240,则x243,所以x可取的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2+y2=1+|x|y恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1),共6个整点,结论正确.由x2+y2=1+|x|y得x2+y21+x2+y22,x2+y22,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.结论正确.曲线C:x2+y2=1+|x|y关于y轴对称,从而曲线C所围成的“心形”区域的面积等于曲线C0:x2+y2=1+xy围成的椭圆区域的面积,曲线C0:x2+y2=1+xy表示长半轴长为2,短半轴长为63的椭圆,面积为ab=26
7、3=2333,故结论错误.故选C.答案C将曲线C的方程做合理的变换,由曲线C的方程的性质探索曲线的几何性质.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。9.(2019北京,理9)函数f(x)=sin22x的最小正周期是.解析函数f(x)=sin22x=1-cos4x2,最小正周期为2.答案210.(2019北京,理10)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.解析等差数列an中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列an的性质得当n5时,an0,当n6
8、时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.答案0-1011.(2019北京,理11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.解析在正方体中还原该几何体,如图所示.该几何体的体积V=43-12(2+4)24=40.答案40画出三视图对应的几何体,应用割补法求几何体的体积.12.(2019北京,理12)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.答案若l,m,则lm13.(2019北京,理13)设函数f(x)=ex+
9、ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.解析若函数f(x)=ex+ae-x为奇函数,则f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x),(a+1)(ex+e-x)=0对任意的x恒成立,则a=-1.若函数f(x)=ex+ae-x是R上的增函数,则f(x)=ex-ae-x0恒成立,即ae2x,故a0.答案-1(-,014.(2019北京,理14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达
10、到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.解析(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y120元时,李明得到的金额为y80%,符合要求.y120元时,有(y-x)80%y70%成立,即8(y-x)7y,xy8,即xy8min=15.所以x的最大值为15.答案(1)130(2)15三、解答题共6小题,共80分。解答
11、应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.(本小题13分)(2019北京,理15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin C=cbsin B=5314.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cos C=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=43
12、7.16.(本小题14分)(2019北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC=13.(1)求证:CD平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且PGPB=23,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD,所以PACD.又因为ADCD,所以CD平面PAD.(2)解过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD,所以PAAM,PAAD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0)
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