2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷).docx

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1.(2017江苏,1)已知集合A=1,2,B=a,a2+3.若AB=1,则实数a的值为.解析由已知得1B,2B,显然a2+33,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.答案12.(2017江苏,2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.解析由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=(-1)2+32=10,答案为10.答案103.(2017江苏,3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽

2、取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.解析抽取比例为601 000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300350=18(件),答案为18.答案184.(2017江苏,4)下图是一个算法流程图.若输入x的值为116,则输出y的值是.解析由题意得y=2+log2116=2-4=-2,答案为-2.答案-25.(2017江苏,5)若tan-4=16,则tan =.解析方法一:tan =tan-4+4=tan-4+tan41-tan-4tan4=16+11-161=75.方法二:因为tan-4=tan-tan41+tantan4=tan-11+tan=16,所以tan =75,答案为75.答

3、案756.(2017江苏,6)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是.解析设球O的半径为r,则圆柱O1O2的高为2r,故V1V2=r22r43r3=32,答案为32.答案327.(2017江苏,7)记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.解析由6+x-x20,即x2-x-60得-2x3,所以D=-2,3-4,5,由几何概型的概率公式得xD的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.答案598.(2017江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲

4、线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.解析该双曲线的右准线方程为x=310=31010,两条渐近线方程为y=33x,得P31010,3010,Q31010,-3010,又c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),四边形F1PF2Q的面积S=2103010=23.答案239.(2017江苏,9)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=.解析设该等比数列的公比为q,则S6-S3=634-74=14,即a4+a5+a6=14.S3=74,a1+a2+a3=74.由得(a1+a

5、2+a3)q3=14,q3=1474=8,即q=2.a1+2a1+4a1=74,a1=14,a8=a1q7=1427=32.答案3210.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x6=4x+900x42900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.答案3011.(2017江苏,11)已知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.解析因为f

6、(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-1e-x=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+2exe-x0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为f(a-1)+f(2a2)0可化为f(2a2)-f(a-1),即f(2a2)f(1-a),所以2a21-a,2a2+a-10,解得-1a12,故实数a的取值范围是-1,12.答案-1,1212.(2017江苏,12)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan =7,OB与OC的夹角为45.若OC=mOA+nOB(m,nR),则m+n=.

7、解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tan =7,0,得00,cos 0,tan =sincos,sin =7cos ,又sin2+cos2=1,得sin =7210,cos =210,OCOA=15,OCOB=1,OAOB=cos+4=-35,得方程组m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.答案313.(2017江苏,13)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PAPB20,则点P的横坐标的取值范围是.解析设P(x,y),由PAPB20,易得x2+y2+12x-6y20.把x2+y2=50代入x

8、2+y2+12x-6y20得2x-y+50.由2x-y+5=0,x2+y2=50,可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由2x-y+50表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为-52,1.答案-52,114.(2017江苏,14)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上,f(x)=x2,xD,x,xD,其中集合D=xx=n-1n,nN*,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案815.(2017江苏,15)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFA

9、D.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.16.(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应

10、的x的值.解(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+632.于是,当x+6=6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时,f(x)取到最小值-23.17.(2017江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2

11、=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为12,两准线之间的距离为8,所以ca=12,2a2c=8,解得a=2,c=1,于是b=a2-c2=3,因此椭圆E的标准方程是x24+y23=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x00,y00.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与

12、题设不符.当x01时,直线PF1的斜率为y0x0+1,直线PF2的斜率为y0x0-1.因为l1PF1,l2PF2,所以直线l1的斜率为-x0+1y0,直线l2的斜率为-x0-1y0,从而直线l1的方程:y=-x0+1y0(x+1),直线l2的方程:y=-x0-1y0(x-1).由,解得x=-x0,y=x02-1y0,所以Q-x0,x02-1y0.因为点Q在椭圆上,由对称性,得x02-1y0=y0,即x02-y02=1或x02+y02=1.又P在椭圆E上,故x024+y023=1.由x02-y02=1,x024+y023=1,解得x0=477,y0=377;x02+y02=1,x024+y023

13、=1,无解.因此点P的坐标为477,377.18.(2017江苏,18)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为107 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.容器容器解(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD

14、,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=107,AM=40,所以MC=402-(107)2=30,从而sinMAC=34.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=P1Q1sinMAC=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O

15、1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=62-142=24,从而GG1=KG12+GK2=242+322=40.设EGG1=,ENG=,则sin =sin2+KGG1=cosKGG1=45.因为2,所以cos =-35.在ENG中,由正弦定理可得40sin=14sin,解得sin =725.因为0k)总成立,则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列an是“P(3)数列”;(2)若数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:an是等差数列.证明(1)因为an是等差数

16、列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列an是“P(3)数列”.(2)数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).将代

17、入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d,所以数列an是等差数列.20.(2017江苏,20)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,bR)有极值,且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b23a;(3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a的取值范围.解(1)由f(x)=x

18、3+ax2+bx+1,得f(x)=3x2+2ax+b=3x+a32+b-a23.当x=-a3时,f(x)有极小值b-a23.因为f(x)的极值点是f(x)的零点,所以f-a3=-a327+a39-ab3+1=0,又a0,故b=2a29+3a.因为f(x)有极值,故f(x)=0有实根,从而b-a23=19a(27-a3)0,即a3.当a=3时,f(x)0(x-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a3时,f(x)=0有两个相异的实根x1=-a-a2-3b3,x2=-a+a2-3b3.列表如下:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故f

19、(x)的极值点是x1,x2.从而a3.因此b=2a29+3a,定义域为(3,+).(2)由(1)知,ba=2aa9+3aa.设g(t)=2t9+3t,则g(t)=29-3t2=2t2-279t2.当t362,+时,g(t)0,从而g(t)在362,+上单调递增.因为a3,所以aa33,故g(aa)g(33)=3,即ba3.因此b23a.(3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-23a,x12+x22=4a2-6b9.从而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1=x13(3x12+2ax1+b)+x23(3x22+2ax2+b)+1

20、3a(x12+x22)+23b(x1+x2)+2=4a3-6ab27-4ab9+2=0.记f(x),f(x)所有极值之和为h(a),因为f(x)的极值为b-a23=-19a2+3a,所以h(a)=-19a2+3a,a3.因为h(a)=-29a-3a20,于是h(a)在(3,+)上单调递减.因为h(6)=-72,于是h(a)h(6),故a6.因此a的取值范围为(3,6.21.(2017江苏,21)A.选修41:几何证明选讲如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,APPC,P为垂足.求证:(1)PAC=CAB;(2)AC2=APAB.证明(1)因为PC切半圆O于点C,所以PCA=CBA.

21、因为AB为半圆O的直径,所以ACB=90.因为APPC,所以APC=90.因此PAC=CAB.(2)由(1)知,APCACB,故APAC=ACAB,即AC2=APAB.B.选修42:矩阵与变换已知矩阵A=0110,B=1002.(1)求AB;(2)若曲线C1:x28+y22=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.解(1)因为A=0110,B=1002,所以AB=01101002=0210.(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则0210x0y0=xy,即2y0=x,x0=y,所以x0=y,y0=x2.因为点Q(x0,

22、y0)在曲线C1上,则x028+y022=1,从而y28+x28=1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.C.选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=-8+t,y=t2(t为参数),曲线C的参数方程为x=2s2,y=22s(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s),从而点P到直线l的距离d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45.当s=2时,dmin=455.因此当点P的坐标为(4,

23、4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455.D.选修45:不等式选讲已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd8.证明由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)264,因此ac+bd8.22.(2017江苏,22)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,BAD=120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B -A1D -A的正弦值.解在平面ABCD内,过点A作AEAD,交BC于点E.因为AA1

24、平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD.如图,以AE,AD,AA1为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz.因为AB=AD=2,AA1=3,BAD=120,则A(0,0,0),B(3,-1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A1(0,0,3),C1(3,1,3).(1)A1B=(3,-1,-3),AC1=(3,1,3),则cos=A1BAC1|A1B|AC1|=(3,-1,-3)(3,1,3)7=-17,因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.(2)平面A1DA的一个法向量为AE=(3,0,0).设m=(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量,又A1B=(3,-1,-3),B

25、D=(-3,3,0).则mA1B=0,mBD=0,即3x-y-3z=0,-3x+3y=0.不妨取x=3,则y=3,z=2,所以m=(3,3,2)为平面BA1D的一个法向量,从而cos=AEm|AE|m|=(3,0,0)(3,3,2)34=34.设二面角B-A1D-A的大小为,则|cos |=34.因为0,所以sin =1-cos2=74.因此二面角B-A1D-A的正弦值为74.23.(2017江苏,23)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,nN*,n2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的

26、抽屉(k=1,2,3,m+n).123m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)n(m+n)(n-1).解(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为:p=Cm+n-1n-1Cm+nn=nm+n.(2)随机变量X的概率分布为:X1n1n+11n+21k1m+nPCn-1n-1Cm+nnCnn-1Cm+nnCn+1n-1Cm+nnCk-1n-1Cm+nnCn+m-1n-1Cm+nn随机变量X的期望为:E(X)=k=nm+n1kCk-1n-1Cm+nn=1Cm+nnk=nm+n1k(k-1)!(n-1)!(k-n)!.所以E(X)1Cm+nnk=nm+n(k-2)!(n-1)!(k-n)!=1(n-1)Cm+nnk=nm+n(k-2)!(n-2)!(k-n)!=1(n-1)Cm+nn(1+Cn-1n-2+Cnn-2+Cm+n-2n-2)=1(n-1)Cm+nn(Cn-1n-1+Cn-1n-2+Cnn-2+Cm+n-2n-2)=1(n-1)Cm+nn(Cnn-1+Cnn-2+Cm+n-2n-2)=1(n-1)Cm+nn(Cm+n-2n-1+Cm+n-2n-2)=Cm+n-1n-1(n-1)Cm+nn=n(m+n)(n-1),即E(X)n(m+n)(n-1).