2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷).docx
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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M=x|x2=x,N=x|lg x0,则MN=()A.0,1B.(0,1C.0,1)D.(-,1答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M=0,1.解lg x
2、0,得0x1,故N=(0,1.故MN=0,1,选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有11070%=77人;高中部女教师有150(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sin6x+-1,1,所以函数y=3
3、sin6x+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为Tr+1=Cnrxn-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为Cnn-2=Cn2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3B.4C.2+4D.3+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.
4、所以几何体的侧面积S1=C底h=(1+2)2=2+4.几何体的底面积S2=1212=12.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2+4+22=3+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin =cos ”是“cos 2=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2=0,得cos2-sin2=0,即cos =sin 或cos =-sin .故“sin =cos ”是“cos 2=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+
5、b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,ab=|a|b|cos|a|b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=|a|-|b|;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x0,停
6、止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0ab,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.q=rpB.p=rpD.p=rq答案:B解析:因为0aab.又因为f(x)=ln x在(0,+)上单调递增,所以fa+b2f(ab),即pq.而r=12(f(a)+f(b)=12(ln a+ln b)=12ln(ab)=lnab,所以r=p,故p=r0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案:22解析:双曲线x2-y2=1的焦点为F1(-2,0)
7、,F2(2,0).抛物线的准线方程为x=-p2.因p0,故-p2=-2,解得p=22.15.(2015陕西,理15)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案:(1,1)解析:曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=y=ex|x=0=1;由y=1x,可得y=-1x2,因为曲线y=1x(x0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,故-1xP2=-1,解得xP=1,由y=1x,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1).16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚
8、线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案:1.2解析:以梯形的下底为x轴,上、下底边的中点连线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),故2=25a,得a=225,故抛物线的方程为y=225x2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)22=16,而当前的截面面积为205 2-225x2dx=22x-2325x3|05=403,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理1
9、7)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积.(1)解:因为mn,所以asin B-3bcos A=0.由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0.又sin B0,从而tan A=3.由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sin B=217.又由ab,知AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos3+cos Bsin3=32114.所
10、以ABC的面积为12absin C=332.18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图.图图(1)证明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.(1)证明:在题图中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=2,所以BEAC,即在题图中,BEOA1,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知
11、,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC为二面角A1-BE-C的平面角,所以A1OC=2.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为A1B=A1E=BC=ED=1,BCED,所以B22,0,0,E-22,0,0,A10,0,22,C0,22,0,得BC=-22,22,0,A1C=0,22,-22,CD=BE=(-2,0,0).设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD夹角为,则n1BC=0,n1A1C=0,得-x1+y1=0,y1-z1=0,取n1=(1,1,1);n2CD=0
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