2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷).docx

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆理科数学数学试题卷(理工农医类)共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.一、选择题:本大题共10小题,每小

2、题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015重庆,理1)已知集合A=1,2,3,B=2,3,则()A.A=BB.AB=C.ABD.BA答案:D解析:因为A=1,2,3,B=2,3,所以BA.2.(2015重庆,理2)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案:B解析:因为an是等差数列,所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=22-4=0.3.(2015重庆,理3)重庆市2013年各月的平均气温()数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23答案:B解析:由茎叶图可知,这

3、组数据的中位数为20+202=20.4.(2015重庆,理4)“x1”是“log12(x+2)0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由log12(x+2)1,即x-1,而x|x1x|x-1,所以“x1”是“log12(x+2)0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-2,0)(0,2)D.(-,-2)(2,+)答案:

4、A解析:设双曲线半焦距为c,则F(c,0),A(a,0),不妨设点B在点F的上方,点C在点F的下方,则Bc,b2a,Cc,-b2a.由于kAC=0-b2aa-c=b2a(a-c),且ACBD,则kBD=-a(a-c)b2,于是直线BD的方程为y-b2a=-a(a-c)b2(x-c),由双曲线的对称性知AC的垂线BD与AB的垂线CD关于x轴对称,所以两垂线的交点D在x轴上,于是xD=-b2a-b2a(a-c)+c=b4a2(a-c)+c,从而D到直线BC的距离为c-xD=-b4a2(a-c),由已知得-b4a2(a-c)a+a2+b2,即-b4a2(a-c)a+c,所以b4a2(c-a)(c+a

5、),即b4a2b2,b2a21,从而0ba0,340,3454,所以=2,=,即交点的极坐标是(2,).16.(2015重庆,理16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.答案:-6或4解析:当a-1时,f(x)=|x+1|+2|x-a|=-3x+2a-1,x-1,所以f(x)在(-,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,则f(x)在x=a处取得最小值f(a)=-a-1,由-a-1=5得a=-6,符合a-1;当a-1时,f(x)=|x+1|+2|x-a|=-3x+2a-1,xa.所以f(x)在(-,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,则f(x)在x=a处取最小

6、值f(a)=a+1,由a+1=5,得a=4,符合a-1.综上,实数a的值为-6或4.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2015重庆,理17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.(2)X的所有

7、可能值为0,1,2,且P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.综上知,X的分布列为X012P715715115故E(X)=0715+1715+2115=35(个).18.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,理18)已知函数f(x)=sin2-xsin x-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在6,23上的单调性.解:(1)f(x)=sin2-xsin x-3cos2x=cos xsin x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos

8、 2x-32=sin2x-3-32,因此f(x)的最小正周期为,最大值为2-32.(2)当x6,23时,02x-3,从而当02x-32,即6x512时,f(x)单调递增,当22x-3,即512x23时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在6,512上单调递增;在512,23上单调递减.19.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问9分)(2015重庆,理19)如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=3,ACB=2.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=2,CE=2EB=2.(1)证明:DE平面PCD;(2)求二面角A-PD-C的余弦值.(1)证明:由PC平面ABC,D

9、E平面ABC,故PCDE.由CE=2,CD=DE=2得CDE为等腰直角三角形,故CDDE.由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE平面PCD.(2)解:由(1)知,CDE为等腰直角三角形,DCE=4.如图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.由ACB=2得DFAC,DFAC=FBBC=23,故AC=32DF=32.以C为坐标原点,分别以CA,CB,CP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A32,0,0,E(0,2,0),D(1,1,0),ED=(1,-1,0),DP=(-1,-1,

10、3),DA=12,-1,0.设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1DP=0,n1DA=0,得-x1-y1+3z1=0,12x1-y1=0,故可取n1=(2,1,1).由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为ED,即n2=(1,-1,0).从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=n1n2|n1|n2|=36,故所求二面角A-PD-C的余弦值为36.20.(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分)(2015重庆,理20)设函数f(x)=3x2+axex(aR).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1

11、)处的切线方程;(2)若f(x)在3,+)上为减函数,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f(x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)2=-3x2+(6-a)x+aex.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f(1)=3e,从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=-3x2+(6-a)x+aex.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2

12、+366.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.故所

13、求椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)解法一:如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1PF2,则x02a2+y02b2=1,x02+y02=c2,求得x0=aca2-2b2,y0=b2c.由|PF1|=|PQ|PF2|得x00,从而|PF1|2=aa2-2b2c+c2+b4c2=2(a2-b2)+2aa2-2b2=(a+a2-2b2)2.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此(2+2)|PF1|

14、=4a,即(2+2)(a+a2-2b2)=4a,于是(2+2)(1+2e2-1)=4,解得e=121+42+2-12=6-3.解法二:如解法一中的图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=2|PF1|,因此,4a-2|PF1|=2|PF1|,得|PF1|=2(2-2)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a.由PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=

15、ca=|PF1|2+|PF2|22a=(2-2)2+(2-1)2=9-62=6-3.22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2015重庆,理22)在数列an中,a1=3,an+1an+an+1+an2=0(nN+).(1)若=0,=-2,求数列an的通项公式;(2)若=1k0(k0N+,k02),=-1,证明:2+13k0+1ak0+10,归纳可得3=a1a2anan+10.因为an+1=an2an+1k0=an2-1k02+1k02an+1k0=an-1k0+1k01k0an+1,所以对n=1,2,k0求和得ak0+1=a1+(a2-a1)+(ak0+1-ak0)=a1-k01k0+1k01k0a1+1+1k0a2+1+1k0ak0+12+1k013k0+1+13k0+1+13k0+1k0个=2+13k0+1.另一方面,由上已证的不等式知a1a2ak0ak0+12,得ak0+1=a1-k01k0+1k01k0a1+1+1k0a2+1+1k0ak0+12+1k012k0+1+12k0+1+12k0+1k0个=2+12k0+1.综上,2+13k0+1ak0+12+12k0+1.