2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)教师.docx

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)(本试卷共4页,20小题,满分150分,考试用时120分钟)第卷(共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合A=-1,0,1,2,B=-3,0,2,3,则A(UB)=() A.-3,3B.0,2C.-1,1D.-3,-2,-1,1,3答案C解析U=-3,-2,-1,0,1,2,3,UB=-2,-1,1,A(UB)=-1,1.故选C.2.设aR,则“a1”是“a2a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若a1,

2、则a2a成立.若a2a,则a1或a1”是“a2a”的充分不必要条件.故选A.3.函数y=4xx2+1的图象大致为()答案A解析函数y=4xx2+1为奇函数,排除C,D.再把x=1代入得y=42=20,排除B.故选A.4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47),5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间5.43,5.47)内的个数为()A.10B.18C.20D.36答案B解析在5.43,5.47的频率为(6.25+5.00)0.02=0.225,0.22580

3、=18.故选B.5.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.24C.36D.144答案C解析2R=(232)2+(23)2=6,球的表面积为4R2=36.故选C.6.设a=30.7,b=13-0.8,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.bcaD.ca30.7=a30=1,c=log0.70.8log0.70.7=1,ca0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1D.x2-

4、y2=1答案D解析双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),l为yb+x1=1,即y=-bx+b,-b=-ba且-bba=-1,a=1,b=1.故选D.8.已知函数f(x)=sinx+3.给出下列结论:f(x)的最小正周期为2;f2是f(x)的最大值;把函数y=sin x的图象上所有点向左平移3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.答案B解析f(x)=sinx+3,f(x)最小正周期T=21=2,正确;f2=sin2+3=sin561,不正确;y=sin xf(x)=sinx+3,正确.故选B.9.已

5、知函数f(x)=x3,x0,-x,x0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kR)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.-,-12(22,+)B.-,-12(0,22)C.(-,0)(0,22)D.(-,0)(22,+)答案D解析f(x)=x3,x0,-x,x0,则如图.1k1k3,k3k,k21,k1,左侧无交点.x3=kx2-2x要有三个根,即x2-kx+2=0有两根,=k2-80,k22.综上,k22.(2)若k0,如图.点1k,-1k恰在y=-x上,且过二次函数顶点,k0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.答案5解析如图.|AB|=6,|AD|=3.圆x2+y2=r

6、2的圆心为(0,0).圆心到直线的距离CD=|8|1+3=4,AC=5,即r=5.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.答案1623解析两球都落入p1=1213=16,A=“两球至少一个落入盒子”对立事件为A=“两球都未落入”,P(A)=1-121-13=1223=13,则P(A)=1-P(A)=23.14.已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.答案4解析ab=1,b=1a.12a+12b+8a+b=12a+a2+8a+1a=121a+a+8a+1a.令

7、1a+a=t0,则原式=t2+8t2t28t=24=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.15.如图,在四边形ABCD中,B=60,AB=3,BC=6,且AD=BC,ADAB=-32,则实数的值为,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DMDN的最小值为.答案16132解析AD=BC,ADAB=BCAB=|BC|AB|cos 120=63-12=-32,=16.令BM=BC056,则BN=BM+MN=BC+16BC=+16BC,DM=DA+AB+BM=-16BC+AB+BC=-16BC-BA,DN=DA+AB+BN=-16BC+AB+16BC=BC-BA.DM

8、DN=-16BC-BA(BC-BA)=-16|BC|2-+-16BABC+|BA|2=362-16-2-169+9=362-6-18+212=362-24+212=36-132+132.又056,当=13时取最小值132.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin2A+4的值.解(1)在ABC中,由余弦定理及a=22,b=5,c=13,有cos C=a2+b2-c22ab=22.又因为C(0,),所以C=

9、4.(2)在ABC中,由正弦定理及C=4,a=22,c=13,可得sin A=asinCc=21313.(3)由ac及sin A=21313,可得cos A=1-sin2A=31313,进而sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=2cos2A-1=513.所以,sin2A+4=sin 2Acos4+cos 2Asin4=121322+51322=17226.17.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1MB1D;(

10、2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.解依题意,以C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)证明:依题意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1MB1D=2-2+0=0,所以C1MB1D.(2)依题意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).设n=

11、(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则nEB1=0,nED=0,即2y+z=0,2x-z=0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos=CAn|CA|n|=66,于是sin=306.所以,二面角B-B1E-D的正弦值为306.(3)依题意,AB=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos=ABn|AB|n|=-33.所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.18.(15分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C满足3O

12、C=OF,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.解(1)由已知,可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|,可得c=b=3.又由a2=b2+c2,可得a2=18.所以,椭圆的方程为x218+y29=1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以ABCP.依题意,直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组y=kx-3,x218+y29=1,消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0,或x=12k2k2+1.依题意,可得点B的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.

13、因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标为6k2k2+1,-32k2+1.由3OC=OF,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为-32k2+1-06k2k2+1-1,即32k2-6k+1.又因为ABCP,所以k32k2-6k+1=-1,整理得2k2-3k+1=0,解得k=12,或k=1.所以,直线AB的方程为y=12x-3,或y=x-3.19.(15分)已知an为等差数列,bn为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).(1)求an和bn的通项公式;(2)记an的前n项和为Sn,求证:SnSn+2Sn+12(nN*);(3)对任意的

14、正整数n,设cn=(3an-2)bnanan+2,n为奇数,an-1bn+1,n为偶数.求数列cn的前2n项和.(1)解设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,从而an的通项公式为an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),又q0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,从而bn的通项公式为bn=2n-1.(2)证明由(1)可得Sn=n(n+1)2,故SnSn+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),Sn+12=14(n+1)2(n+2)2,从而SnSn+2-Sn+12=-12(n+1)(n+2)0,所以SnSn+2x2,有f(x1)+

15、f(x2)2f(x1)-f(x2)x1-x2.(1)解当k=6时,f(x)=x3+6ln x,故f(x)=3x2+6x.可得f(1)=1,f(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.依题意,g(x)=x3-3x2+6ln x+3x,x(0,+).从而可得g(x)=3x2-6x+6x-3x2,整理可得g(x)=3(x-1)3(x+1)x2.令g(x)=0,解得x=1.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)极小值所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+);

16、g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.(2)证明由f(x)=x3+kln x,得f(x)=3x2+kx.对任意的x1,x21,+),且x1x2,令x1x2=t(t1),则(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)3x12+kx1+3x22+kx2-2x13-x23+klnx1x2=x13-x23-3x12x2+3x1x22+kx1x2-x2x1-2klnx1x2=x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2ln t.令h(x)=x-1x-2ln x,x1,+).当x1时,h(x)=1+1x2-2x=1-1x20,由此可得h(x)在1,+)单调递增,所以当t1时,h(t)h(1),即t-1t-2ln t0.因为x21,t3-3t2+3t-1=(t-1)30,k-3,所以,x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2ln t(t3-3t2+3t-1)-3t-1t-2ln t=t3-3t2+6ln t+3t-1.由(1)可知,当t1时,g(t)g(1),即t3-3t2+6ln t+3t1,故t3-3t2+6ln t+3t-10.由可得(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2)0.所以,当k-3时,对任意的x1,x21,+),且x1x2,有f(x1)+f(x2)2f(x1)-f(x2)x1-x2.