2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国Ⅱ卷)理.docx

1、绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷,理)(本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2,则U(AB)=()A.-2,3B.-2,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,32.若为第四象限角,则()A.cos 20B.cos 20D.sin 20,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.329.设函数f(x

2、)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)()A.是偶函数,且在12,+单调递增B.是奇函数,且在-12,12单调递减C.是偶函数,且在-,-12单调递增D.是奇函数,且在-,-12单调递减10.已知ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16,则O到平面ABC的距离为()A.3B.32C.1D.3211.若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|b0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C

3、1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.20.(12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心,若AO平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.21.(12分)已知函数f(x)=sin2xsin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0,)的单调性;(2)证明:|f(x)|338;(3)设nN*,证明:sin2xsin22xsin

4、24xsin22nx3n4n.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做第一题计分。22.选修44:坐标系与参数方程(10分)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2,y=4sin2(为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.23.选修45:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.

5、(1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.2020年数学(全国卷,理)查缺补漏表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏1(集合)选择题集合的基本运算(并集、补集);数学运算9,11,21(函数与导数)选择题函数的奇偶性、单调性;数学运算选择题函数的单调性;逻辑推理解答题应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的最值;数学抽象、逻辑推理、数学运算2,17(三角函数与解三角形)选择题三角函数在各象限的符号,二倍角公式;数学运算解答题正弦定理、余弦定理,两角和与差的正弦公式,正弦函数的性质;数学运算13(平面向量)填空题平面向量的数量积;数学运算4,6,

6、12(数列)选择题等差数列的性质,等差数列的前n项和;数学运算选择题 等比数列的判定,等比数列的前n项和;数学运算选择题数列的应用;逻辑推理、数学运算7,10,16,20(空间向量与立体几何)选择题求空间几何体的基本元素;直观想象选择题球的切接问题,线线、线面的位置关系;直观想象、数学运算填空题空间点、线、面的位置关系;直观想象,逻辑推理解答题空间线线平行、面面垂直的证明、线面角;直观想象、数学运算5,8,19(平面解析几何)选择题直线与圆的位置关系,点到直线的距离,直观想象、逻辑推理、数学运算选择题双曲线的几何性质,基本不等式;直观想象、逻辑推理、数学运算解答题求椭圆的离心率,椭圆、抛物线的

7、定义、几何性质、标准方程;逻辑推理、数学运算续表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏3,14,18(计数原理与概率统计)选择题概率应用,数学运算填空题排列组合;数学运算解答题样本估计总体,相关系数,分层抽样;数学建模、数据分析15(复数)填空题复数的运算,复数的模;数学运算22(坐标系与参数方程)解答题极坐标与参数方程;直观想象、数学运算23(不等式选讲)解答题绝对值不等式,分段函数;直观想象、逻辑推理【试题分析】2020年全国卷理科数学,突出对基础知识(约占40%)以及主干内容的考查,如函数与导数(22分),立体几何(27分),解析几何(22分),计数原理与概率统计(22分),三角函

8、数与解三角形(17分).纵观全卷,在稳定中求创新,重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查,关注学生的应用意识与创新意识,试卷梯度明显,有良好的区分度.试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.第12题不仅考查学生运用所学知识分析、解决问题的能力,而且也考查了学生的观察能力、运算能力、推断能力与灵活运用知识的综合能力.第21题考查学生利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导数运算法则,综合考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力和数学语言表达能力.第3题以新冠疫情期间,订单配货的概率设计问题,考查学生的逻辑思维能力.第4题以北

9、京天坛为背景,设计了数列的计算问题,将数列的基本知识与文化遗产有机结合,考查学生的分析能力和提升学生的数学文化素养.1.AAB=-1,0,1,2,U(AB)=-2,3.故选A.2.D为第四象限角,sin 0,sin 2=2sin cos 0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=|2-1-3|5=255.当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=|25-5-3|5=255.综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.故选B.6.Cam+n=aman,令m=1,又a1

10、=2,an+1=a1an=2an,an+1an=2,an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=2n.ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+11-2101-2=2k+11-2k+1=215-25.k+11=15,k+1=5,解得k=4.7.A8.B由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=bax.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以SODE=122ba=ab=8.所以c2=a2+b22ab=16,当且仅当a=b=22时取等号.所以c4,所以2c8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.9.

11、D由题意可知,f(x)的定义域为xx12,关于原点对称.f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)为奇函数.当x-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),f(x)=22x+1-21-2x=4(2x+1)(1-2x)0,f(x)在区间-12,12内单调递增.同理,f(x)在区间-,-12,12,+内单调递减.故选D.10.C设等边三角形ABC的边长为a,球O的半径为R,ABC的外接圆的半径为r,则SABC=34a2=934,S球O=4R2=16,解得a=3,R=2.

12、故r=2332a=3.设O到平面ABC的距离为d,则d2+r2=R2,故d=R2-r2=4-3=1.故选C.【方法速记】在等边三角形中,设其边长为a,则高h=32a,面积S=34a2,外接圆的半径R=33a,内切圆的半径r=36a.11.A2x-2y3-x-3-y,2x-3-x2y-3-y.f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)f(y),x0,y-x+11,ln(y-x+1)ln 1=0.故选A.12.C周期为5,m=5.C(k)=1mi=1maiai+k=15i=15aiai+k(k=1,2,3,4).C(k)15(k=1,2,3,4),i=15aiai+k1(k=1,2,3,4)

13、.将选项代入验证可知,只有选项C符合题意.故选C.13.22由题意可知,ab=|a|b|cos 45=22.ka-b与a垂直,(ka-b)a=k|a|2-ab=k-22=0,k=22.14.36由题意可知,必有两名同学去同一个小区,故不同的安排方法共有C42A33=36(种).15.23设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR.|z1|=|z2|=2,a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,a+c=3,b+d=1.(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.2ac+2bd=-4.(a-c)2+(b

14、-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=23.16.p1,p4为真命题,p2,p3为假命题,􀱑p2,􀱑p3为真命题,p1p4为真命题,p1p2为假命题,􀱑p2p3为真命题,􀱑p3􀱑p4为真命题.故填.17.解 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2-AC 2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC 2=AC 2+AB2-2ACABcos A.由得cos A=-12.因为0A,所以A=23.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsin

15、C=BCsinA=23,从而AC=23sin B,AB=23sin(-A-B)=3cos B-3sin B.故BC+AC+AB=3+3sin B+3cos B=3+23sinB+3.又0B3,所以当B=6时,ABC周长取得最大值3+23.18.解 (1)由已知得样本平均数y=120i=120yi=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60200=12 000.(2)样本(xi,yi)(i=1,2,20)的相关系数r=i=120(xi-x)(yi-y)i=120(xi-x)2i=120(yi-y)2=800809 000=2230.94.(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对

16、200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.19.解 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍

17、去),ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y 2=12x.20.(1)证明 因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因为A1B1C

18、1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解 由已知得AMBC.以M为坐标原点,MA的方向为x轴正方向,|MB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系M -xyz,则AB=2,AM=3.连接NP,则四边形AONP为平行四边形,故PM=233,E233,13,0.由(1)知平面A1AMN平面ABC.作NQAM,垂足为Q,则NQ平面ABC.设Q(a,0,0),则NQ=4-233-a2,B1a,1,4-233-a2,故B1E=233-a,-23,-4-233-a2,|B1E|=2103.又n=(0,-1,0)是平面A1AMN

19、的法向量,故sin2-=cos=nB1E|n|B1E|=1010.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为1010.21.(1)解 f(x)=cos x(sin xsin 2x)+sin x(sin xsin 2x)=2sin xcos xsin 2x+2sin2xcos 2x=2sin xsin 3x.当x0,323,时,f(x)0;当x3,23时,f(x)0.所以f(x)在区间0,3,23,单调递增,在区间3,23单调递减.(2)证明 因为f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间0,的最大值为f3=338,最小值为f23=-338.而f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)|

20、338.(3)证明 由于(sin2xsin22xsin22nx)32=|sin3xsin32xsin32nx|=|sin x|sin2xsin32xsin32n-1xsin 2nx|sin22nx|=|sin x|f(x)f(2x)f(2n-1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|,所以sin2xsin22xsin22nx3382n3=3n4n.22.解 (1)C1的普通方程为x+y=4(0x4).由C2的参数方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t2-2,所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-y2=4得x=52,y=32,所以P的直角坐标为52,32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得x02=x0-522+94,解得x0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为=175cos .23.解 (1)当a=2时,f(x)=7-2x,x3,1,34.因此,不等式f(x)4的解集为xx32或x112.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)24,即|a-1|2时,f(x)4.所以当a3或a-1时,f(x)4.当-1a3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24.所以a的取值范围是(-,-13,+).