2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国乙)文.docx

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙)文科一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2021全国乙文1)已知全集U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4,则U(MN)=()A.5B.1,2C.3,4D.1,2,3,4命题意图 考查集合的并集、补集运算,考查运算求解能力.解析 A(方法一)MN=1,2,3,4,U(MN)=5.(方法二)UM=3,4,5,UN=1,2,5,U(MN)=(UM)(UN)=5.2.(2021全国乙文2)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i命

2、题意图 考查复数的运算,考查运算求解能力.解析 C由已知可得,z=4+3ii=(4+3i)iii=-(4i-3)=3-4i.3.(2021全国乙文3)已知命题p:xR,sin x1;命题q:xR,e|x|1,则下列命题中为真命题的是()A.pqB.􀱑pqC.p􀱑qD.􀱑(pq)命题意图 考查简易逻辑,考查逻辑推理能力.解析 A因为当x2k+2(kZ)时,sin x0,于是y=t+4t2t4t=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.所以该项符合题意.D项,因为当x(0,1)时,ln x0,所以存在x使y0,故该项不符合题意.9.(2021全

3、国乙文9)设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1命题意图 考查函数的性质,考查逻辑推理、数学运算能力.解析 B函数f(x)=1-x1+x=-1+2x+1,故该函数图像的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图像向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图像对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图像关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.10.(2021全国乙文10)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()A.2B.3C.4D

4、.6命题意图 考查异面直线所成的角,考查逻辑推理能力.解析 D如图,连接BC1,PC1.由正方体的性质可得AD1BC1,故PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为1,则BC1=2,C1P=12A1C1=22.而BP=BB12+B1P2=12+222=62,可得C1P2+BP2=BC12,故C1PPB.则在RtBPC1中,有sinPBC1=C1PBC1=12,于是PBC1=6,即直线PB与AD1所成的角等于6.解题方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤:(1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角;(2)求角转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出角的大小.11.(2021全国乙

5、文11)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为()A.52B.6C.5D.2命题意图 考查椭圆的性质、两点间的距离、函数的思想,考查逻辑推理、数学运算能力.解析 A(方法一)由椭圆方程可得a=5,b=1,故椭圆的上顶点为B(0,1).设P(x,y),则有x25+y2=1,故x2=5(1-y2),由椭圆的性质可得-1y1.则|PB|2=x2+(y-1)2=5(1-y2)+(y-1)2=-4y2-2y+6=-4y2+y2+6=-4y+142+254.因为-1y1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52.(方法二)由题

6、意可设P(5cos ,sin )(R),又B(0,1),则|PB|2=5cos2+(sin -1)2=5cos2+sin2-2sin +1=-4sin2-2sin +6,于是当sin =-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4116-2-14+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.12.(2021全国乙文12)设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则()A.abC.aba2命题意图 考查函数的极值,考查逻辑推理、数学运算能力.解析 D因为f(x)=a(x-a)2(x-b),所以f(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)

7、(2x-2b)+(x-a) =a(x-a)3x-(a+2b)=3a(x-a)x-a+2b3.由f(x)=0,解得x=a或x=a+2b3.若a0,则由x=a为函数f(x)的极大值点,可得a+2b3a,化简得ba.此时在区间-,a+2b3和(a,+)内,f(x)0,函数f(x)单调递增.此时a(a-b)0,即a20,则由x=a为函数的极大值点可得 aa+2b3,化简得a0,函数f(x)单调递增;在区间a,a+2b3内,f(x)0,函数f(x)单调递减.此时a(a-b)0,即a2ab.综上可得a22s12+s2210,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.(2021全国乙文18)

8、(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,M为BC的中点,且PBAM.(1)证明:平面PAM平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.命题意图 本题考查平面与平面垂直的判定、体积计算,考查运算求解能力、空间想象能力.(1)证明 PD平面ABCD,AM平面ABCD,PDAM.又PBAM,PBPD=P,PB平面PBD,PD平面PBD,AM平面PBD.AM平面PAM,平面PAM平面PBD.(2)解 M为BC的中点,四边形ABCD为矩形,BM=12AD,且AB=DC=1.AM平面PBD,BD平面PBD,AMBD,则有MAD+ADB=90,又BAM+MAD=

9、90,BAM=ADB,又DAB=ABM=90,BAMADB,得BMAB=ABDA,将式代入,解得AD=2.S矩形ABCD=ADDC=21=2.故VP-ABCD=13S矩形ABCDPD=1321=23.19.(2021全国乙文19)(12分)设an是首项为1的等比数列,数列bn满足bn=nan3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求an和bn的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和.证明:TnSn2.命题意图 本题考查了等差数列与等比数列的性质、等比数列的前n项和公式和利用错位相减法求数列的前n项和,考查了方程思想和转化思想.(1)解 设an的公比为q,则an=qn-1.

10、因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以1+9q2=23q,解得q=13,故an=13n-1.由bn=nan3,得bn=n313n-1=n13n.(2)证明 由(1)可知Sn=1-13n1-13=321-13n.又bn=n3n,则Tn=131+232+333+n-13n-1+n3n,两边同乘13,得13Tn=132+233+334+n-13n+n3n+1,-,得23Tn=13+132+133+134+13n-n3n+1,即23Tn=131-13n1-13-n3n+1=121-13n-n3n+1,整理得Tn=341-13n-n23n=34-2n+343n,则2Tn-Sn=234-2n+343n-

11、321-13n=-n3n0.故Tn0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.命题意图 本题考查抛物线的性质及抛物线的方程、直线与抛物线的关系,考查逻辑推理及运算求解能力.解 (1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).又F(1,0),则PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(1-x2,-y2).因为PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2.又因为点P在抛物线C上,所

12、以y12=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=25x-925.易知直线OQ的斜率存在.设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由y=kx,y2=25x-925,得k2x2=25x-925,即k2x2-25x+925=0,(*)当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,方程(*)的判别式=0,即-252-4k2925=0,解得k=13,所以直线OQ斜率的最大值为13.21.(2021全国乙文21)(12分)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求曲线y=f(x)过坐标

13、原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.命题意图 本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想及运算求解能力.解 (1)函数f(x)=x3-x2+ax+1的定义域为R,其导数为f(x)=3x2-2x+a.当a13时,方程f(x)=0至多有一解,f(x)0,f(x)在R上单调递增;当a13时,若f(x)=0,则3x2-2x+a=0,此时方程3x2-2x+a=0有两根,即x1=1-1-3a3,x2=1+1-3a3.当xx2时,f(x)0;当x1xx2时,f(x)0,故f(x)在区间(-,x1)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,在区间(x2,+)内单调递增.故当

14、a13时,f(x)在R上单调递增;当ar(r为圆C的半径),不合题意,舍去;当直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-4),化简得kx-y-4k+1=0,此时圆心C(2,1)到直线的距离d=|2k-1-4k+1|k2+1=|2k|k2+1,由d=r=1,得2|k|=k2+1,两边平方得4k2=k2+1,解得k=33.代入直线方程并化简得x-3y+3-4=0或x+3y-3-4=0,化为极坐标方程为cos -3sin =4-3或cos +3sin =4+3.23.(2021全国乙文23)选修45:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)6

15、的解集;(2)若f(x)-a,求a的取值范围.命题意图 本题主要考查绝对值不等式的解法,考查运算求解能力,属于基础题.解 (1)当a=1时,由f(x)6可得|x-1|+|x+3|6.当x-3时,不等式可化为1-x-x-36,解得x-4;当-3x-a,则f(x)min-a.因为f(x)=|x-a|+|x+3|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)0时,等号成立),所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|-a,即a+3-a,解得a-32,+.故a的取值范围为-32,+.2021年全国卷乙文科数学查缺补漏表题型题号考查要点学科能力学科素养查缺补漏选择题1集合的基本运

16、算(并集与补集)运算求解能力数学运算2复数的除法运算求解能力数学运算3含量词的命题的真假判断以及复合命题的真假判断推理论证能力逻辑推理4三角函数的周期性与最值、三角恒等变换运算求解能力数学运算5简单的线性规划运算求解能力、逻辑推理能力直观想象、数学运算6倍角公式与诱导公式运算求解能力数学运算7几何概型抽象概括能力、运算求解能力直观想象、数学运算8函数最值的判断与基本不等式的应用推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算9函数图像平移变换以及函数的奇偶性判断抽象概括能力、推理论证能力直观想象、逻辑推理10两异面直线所成角的求解运算求解能力、空间想象能力直观想象、数学运算11椭圆中的最值推理论证

17、能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算12函数的极值点判断以及不等式的性质推理论证能力、运算求解能力推理论证、数学运算填空题13向量共线运算求解能力数学运算14双曲线的方程、点到直线的距离运算求解能力数学运算15解三角形、三角形的面积运算求解能力数学运算16三棱锥的三视图空间想象能力、推理论证能力直观想象、逻辑推理续表题型题号考查要点学科能力学科素养查缺补漏解答题17样本数据的求解与应用运算求解能力、数据处理能力、应用意识数学运算、数据分析、数学应用18空间面面垂直的证明、棱锥体积的求解推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算、逻辑推理19等差数列、等比数列的基本运算、数列求和

18、与不等式的证明运算求解能力、推理论证能力逻辑推理、数学运算20抛物线的简单几何性质、直线和抛物线的位置关系、最值问题运算求解能力数学建模、数学运算21应用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、方程的解、分类讨论思想推理论证能力、运算求解能力数学抽象、逻辑推理22极坐标与参数方程运算求解能力数学运算23不等式的解法、分类讨论思想、数形结合思想运算求解能力直观想象、逻辑推理【试卷评析】2021年全国乙卷文科数学,落实高考内容改革总体要求,贯彻德智体美劳全面发展教育方针,聚焦核心素养,突出关键能力考查,体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向,试题突出数学本质,重视理性思维,坚持素养导向、能力为重的命

19、题原则.全国乙卷文科数学,突出对基础知识(约占50%)以及主干内容的考查,如函数与导数(27分)、立体几何(22分)、解析几何(22分)、概率与统计(17分)、三角函数与解三角形(20分).重点考查考生对数学本质的认识,考查考生对数学思想方法的理解和运用,倡导理论联系实际,学以致用,一是“举例问题”灵活开放,第16题考查考生的空间想象能力,有多组正确答案,有多种解题方案可供选择.二是关注现实生产生活,第17题,以新旧设备为原型,设计了概率统计的应用问题,考查考生对平均数、方差等知识的理解和应用.总之,2021年高考数学全国乙卷文科数学试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突出数学学科特色,发挥了高考数学学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.