江西省景德镇市2019-2020学年高二上学期期末数学文科试题（解析版）.docx

1、景德镇市2019-2020学年度上学期期末检测卷高二数学（文科）一、选择题：1.设全集，则（ ）A. B. C. D. 或 【答案】B【解析】【分析】先求集合，再求.【详解】 解得：，,.故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.2.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题3.是方程表示焦点在y轴上的椭圆的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据

2、椭圆的定义判断【详解】将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即mn0反之，当mn0，可得出0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”mn0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选B【点睛】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导4.定义在R上的偶函数在上是增函数，又，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先由题意画出表示函数性质的图象，根据图象解不等式.【详解】首先由题意画出函数的图象，如图所示， 等价于 ,此时不等式的解集是，或 此时不等式的解集是 由图象可知不等式的解集是.故选：A【点睛】

3、本题考查根据函数的性质解不等式，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.5.椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为()A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】分析】由题意得到再根据,求出,分焦点在轴和轴上写出标准方程即可.【详解】由题意可得：，所以，由得；所以，当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为;当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为.【点睛】本题主要考查根据三者之间关系求椭圆的标准方程，属于基础题型.6.若双曲线的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的实轴长求出a，然后求解渐近线方程即可【详解】双曲线的

4、实轴长为2，得，又，所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题7.以下命题（其中，表示直线，表示平面）：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择详解】若ab，b，则a或a，故错；若a，b，则a，b平行、相交或异面，故错；若ab，b，则a或a，故错；若a，b，则a、b平行或异面，故错正确命题个数为0个，故选A.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，主要考查线面平行的判定和性

5、质.8.若直线l：过点，当取最小值时直线l的斜率为（ ）A. 2B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将点带入直线可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解【详解】因为直线过点，所以，即，所以当且仅当，即时取等号所以斜率，故选A【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题9.已知点P为抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是B，A点坐标为(3，4).则PA+PB的最小值是( )A. 5B. 4C. D. -1【答案】D【解析】【分析】求得抛物线的准线方程为x=-1，焦点F(1，0)，利用抛物线定义可得：|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1|AF|-1，问题得解【详解】

6、根据题意抛物线的准线为：x=-1，焦点F(1，0)，由抛物线定义可得：|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=-1=-1故选D【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了抛物线的定义应用及两点距离公式，考查转化能力及计算能力，属于中档题10.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数可求得时的单调性和最值，从而可得的图象；将问题转化为与有个交点，通过数形结合可求得结果.【详解】当时，当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减时，由此可得图象如下图所示：若函数有个零点，则与有个交点由图象可知：当时，与有个交点本题正

7、确选项：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.11.已知三棱锥的外接球O半径为2，球心O到所在平面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】首先由球和三棱锥的组合体可知三棱锥的体积最大，转化为半径为的圆内接面积的最大值，由图形可知当的高过圆心时面积最大，利用正弦定理表示三角形的面积，并利用导数求函数的最大值.【详解】由题意可知当三棱锥的体积最大时，点到底面的距离，如图所示， ,中，,要求三棱锥体积的最大值，转化为半径为的圆内接面积的最大值，如图，当的高过圆

8、心时面积最大，此时是等腰三角形，根据正弦定理,，设 则，则 ， 令，当时，当时，当时，此时 , 此时取得最大值.故选：A【点睛】本题考查球与几何体的组合体求体积的最大值，意在考查空间想象能力，和计算能力，本题的关键是数形结合表示圆内接三角形的面积，本题属于中档题型.12.已知的内角，所对的边分别为，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理进行边角互化,得到,根据余弦定理可得,再由面积公式得到,利用均值不等式可得,进而,即为关于的函数关系,从而解得周长的最小值.【详解】,（当且仅当时取等号）,，,设,单调递增,故选C.【点睛】本题考查

9、利用正弦定理边角互化,考查余弦定理的应用,考查均值不等式的应用,考查三角形中的最值问题.二、填空题：13.已知，则与方向相同的单位向量_.【答案】【解析】【分析】首先设单位向量，由题意列出关于的方程组，求解.【详解】，设 ，由题意可知 ，解得： 或 与的方向相同，.故答案为：【点睛】本题考查根据向量的关于求向量，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.14.已知直线与圆相切，则a的值为_.【答案】【解析】【分析】利用圆心到直线的距离，直接求的值.【详解】由题意可知圆心到直线的距离， 解得：.故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置相切，求参数，属于简单题型.15.在正项等比数列中，若，的值为

10、_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，再利用等比数列的性质化简，代入化简求值.【详解】数列是正项等比数列， ， ， ，.故答案为：【点睛】本题考查等比数列的性质，三角函数求值，意在考查基本性质的应用，属于基础题型，本题的难点是正确化简.16.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2，动点P满足，当不共线时，三角形面积的最大值是_.【答案】【解析】【分析】首先求动点的轨迹方程，再根据圆的性质求三角形面积的最大值.【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则， ，化

11、简为： ，整理为：，圆是以为圆心，半径，当点到的距离最大时，三角形面积最大，距离的最大值是，面积的最大值是.故答案为：【点睛】本题考查轨迹方程，与圆有关的面积的最值，意在考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型.三、解答题17.设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足.（1）当时，若为真，求x的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求两个命题为真时的取值范围，并且由题意可知两个命题都是真命题，直接求两个集合的交集；（2）由命题的等价性转化为是的必要不充分条件，利用集合的包含关系求的取值范围.【详解】（1）当时，真，则，解得

12、；真，则解得.为真，则真且真，故的取值范围为.（2）是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，真，有， 故解得.【点睛】本题考查根据命题的真假，充分必要条件求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，基本公式的运用，属于基础题型.18.设：“”；：“是单调递增函数”（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若为真命题，且为假命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，求的取值范围；（2）由题意可知命题一真一假，首先求两个命题为真命题时，的取值范围，再由命题一真一假，列不等式求解.【详解】（1）为真命题，则，；（2）“”为真命题，“”为假命题，则，一真一假

13、.若为真命题，则是单调递增函数， 即真假，解得假真，则无解综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，基本公式的运用，属于基础题型.19.已知抛物线的焦点F为圆的圆心.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线相交于两点，且，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先求得圆的圆心，然后直接求抛物线方程；（2）设直线的方程为：，与抛物线方程联立，利用焦点弦长公式，求直线的方程.【详解】（1）圆标准方程为，圆心坐标为，即焦点坐标为，得到抛物线的方程（2）设直线的方程为：联立抛物线的方程消整理得： 又

14、解得所以所求直线的方程为：或【点睛】本题考查抛物线方程，焦点弦长，意在考查基本性质，公式，属于基础题型.20.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的极值【答案】（1）（2）极小值为,极大值为.【解析】【分析】（1）利用导数求出，由切线斜率为，得到等式，再将代入切线方程，得出切点坐标，并将切点坐标代入函数的解析式，得到等式，将等式联立求出与的值，于此可得出函数的解析式；（2）对函数求导，求出该函数的极值点，分析函数在区间上的单调性，便可求出该函数在区间上的极值【详解】（1）因为，所以，. 所以，曲线在处的切线方程的斜率 又因为,所以, 又因为所以, 联立解得.

15、所以,. (2)由(1)知,令得, 当,单调递增； 当,单调递减； 当,单调递增. 所以在区间上的极小值为, 极大值为.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值，在处理直线与函数图象相切的问题时，要把握以下两点；（1）切点是切线与函数图象的公共点；（2）导函数在切点出的导数值等于切线的斜率21.设是椭圆上的点，是焦点，离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的两点，且，问线段的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，说明理由.【答案】（1）（2）过，【解析】【分析】（1）由条件可知，并且点代入椭圆方程，求得椭圆的标准方程；（2）设直线方程为，则，

16、与椭圆方程联立，求得的中点坐标，并表示线段的垂直平分线方程，利用条件，求得直线所过的定点，并说明当斜率不存在时，也满足.【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，椭圆的标准方程为，将点的坐标代入椭圆的标准方程得，得，因此，椭圆的方程为；（2）由题意知，当直线斜率存在时，设直线的方程为，则.将直线的方程与椭圆方程联立，得.由韦达定理可得，所以，则线段的中点坐标为.则线段的垂直平分线方程为，即，即，此时，线段的垂直平分线过定点；当直线的斜率不存在时，直线的垂直平分线就是轴，也过点；综上所述，线段的垂直平分线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系的综合问题，意在考查涉及椭圆中直线过定点问

17、题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.22.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在上的值域；（3）若存在，使得成立，求的最大值.（其中自然常数）【答案】（1）（2）（3）的最大值为6.【解析】【分析】）（1）对求导得到，然后代入切点横坐标，得到斜率，点斜式写出切线方程，整理得答案；（2）利用导数判断出的单调性，根据单调性求出其最小值，并比较在两个端点时的函数值，得到最大值，从而得到答案；（3）由（2）可得，要使成立，且的值最大，则，的值应最小，即，从而得到，从而得到的最大值为.【详解】解：（1），又，即为所求切线的方程.（2）令，得（舍去负根）所以时，单调递减，时，单调递增.故，又因为，故，故时，.（3）由（2）知，时，.所以有而要使成立，且的值最大，则，每个的函数值应最小，即，即，从而得到，所以，所以的最大值为.【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和值域，不等式能成立问题，属于中档题.