湖南省衡阳市衡阳县2019-2020学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx

1、2019年下学期期末质量检测试卷高二数学一选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在中,若,则一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数关系得关系，即得三角形形状.【详解】，或.故选：D【点睛】本题考查正弦函数性质以及三角形形状判断，考查基本分析化简能力，属基础题.2.给出命题：若函数是幂函数，则它的图像不过第四象限，在它的原命题逆命题否命题逆否命题四个命题中，真命题的个数是( )A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】根据互为逆

2、否命题真假相同，判断原命题与逆命题真假，即可得出结论.【详解】由幂函数的性质判断原命题为真，则逆否命题也是真；逆命题：若函数图像不过第四象限，则它为幂函数.显然为假命题，则否命题也是假.故选:B.【点睛】本题考查命题间的关系，属于基础题.3.在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图所示，山高为，塔高为，根据已知在中，求出，在用正弦定理，即可求出.【详解】如图所示，山高为，塔高为，分别为山下一塔顶与塔底的俯角，在中，在中，由正弦定理得.故选:D.【点睛】本题考查解三角形的实际应用题，关键要熟练运用正弦定理，属于基础题.

3、4. 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）A. 1升B. 升C. 升D. 升【答案】B【解析】试题分析：设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3，3a1+21d=4，43得：66d=7，解

4、得d=，把d=代入得：a1=，则a5=+（51）=故选B点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题5.设均为单位向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解： ，因为均为单位向量，所以 ab，即“”是“”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价

5、关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件6.若（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故.【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.7.已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】求出，根据向量夹角公式，即可求解.【详解】，设的夹角为，.故选:B,【点睛】本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题.8.数列为等比数列，是它的前项和，已知，且与的等差中项为，则( )A. 31B. 32C. 16D. 15【答案

6、】A【解析】【分析】设数列的公比为，将已知条件转化为关于的关系式，即可求解.【详解】设数列的公比为，与的等差中项为，.故选:A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的运算，属于基础题.9.设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程是()A. (x1)2y24B. (x1)2y22C. y22xD. y22x【答案】B【解析】作图可知圆心(1,0)到P点距离为，所以P在以(1,0)为圆心，以为半径长的圆上，其轨迹方程为(x1)2y22.10.在正方体，中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立空间直角

7、坐标系，求出平面法向量以及坐标，按线面角向量法求解.【详解】设正方体边长为，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立坐标系，则，平面法向量为，设直线与平面所成的角为，.故选:C.【点睛】本题考查用向量法求直线与平面所成的角，考查计算能力，属于基础题.二填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷对应题号的横线上)11.不等式组的解集为_.【答案】x|0x1【解析】【分析】直接利用二次不等式的解法求解即可【详解】解：x210，1x1，x23x0，0x3，0x1.故答案为x|0x1【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查计算能力12.如图，五角星魅力无穷，一动点由处按图中数字由小到大的

8、顺序依次运动，当第一次运动结束回到处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2019应在_处(填大写字母)【答案】D【解析】【分析】从点按照规律运行一次周期为5，求出2019除以5的余数，即可求解.【详解】当第一次运动结束回到处时，数字为6，按此规律每完整运行一次周期为5，余数为，故在D位置.故答案为:D.【点睛】本题考查归纳推理，注意周期的应用，属于基础题.13.已知命题若数列的前项和，则数列是等差数列.当是假命题时，实数的值为_.【答案】0【解析】【分析】由已知可得命题为真，根据求出，又有为等差数列，即可求出.【详解】当是假命题时，则命题为真，即数列的前项和，则数列是等差数列，当时，当时，为

9、等差数列，.故答案为:0.【点睛】本题以命题的真假为背景，考查数列的前和与通项的关系，属于基础题.14.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数_.【答案】【解析】【分析】化双曲线方程为标准方程，求得的值，依题意列方程，解方程求得的值.【详解】双曲线方程化标准方程得，故，依题意可知，即，解得.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.15.过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 【答案】【解析】【详解】故答案为：.三解答题(本大题共5小题，共50分，在答题卷题目相应位置作答)16.内角A，B，C的对边分别为a，b

10、，c.已知.（1）求角C；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.17.在数列中，(1)设，证明：数列是等差数列；(2)求数列的前项和.【答案】（1）略（2）【解析】试题分析：（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，进而得证；（2）由（1）可得，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求

11、其前项和，即有：，得：，-得.试题解析：（1），又，则是为首项为公差的等差数列；由（1）得，得：，-得.考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.18.扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.求关于函数关系式，并指出其定义域；要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.【答案】（1）；（2

12、）；（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.【解析】试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.试题解析：，其中，得， 由，得； 6分得腰长的范围是10分，当并且仅当，即时等号成立外周长的最小值为米，此时腰长为米 16分考点：函数的应用、基本不等式、函数的最值.19.已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆

13、的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（），；（）存在点【解析】（）由于椭圆：过点且离心率为，椭圆的方程为.,直线的方程为：，令，；（），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则.设,则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得.考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.20.如图，在直三棱柱中，点是的中点.(1)证明:直线平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求平面与所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) ；(3)【解析】【分析

14、】（1）连接，交于，连结，得到为中点，可证，即可证明结论；（2）以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，求出坐标，再求出向量夹角的余弦，即可求解；（3）求出平面的法向量，取轴上的单位向量为平面法向量，根据向量的面面角公式，即可求解.【详解】(1)连接，交于， 连结，直三棱柱中，侧面为平行四边形，为中点，点是的中点，又平面，平面平面 (2)以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.因为.所以异面直线与所成角的余弦值为.(3)设平面的法向量.因为，所以，即且，取，得，所以是平面的一个法向量，取平面的一个法向量，设平面与平面所成二面角的大小为.由，得.因此平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用空间向量法求异面直线所成角和面面角，属于中档题.