安徽省淮北市相山区师范大学附属实验中学2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题（解析版）.docx

1、淮北师范大学附属实验中学2019-2020学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）本试卷分第卷（选择、填空题）和第卷（解答题）两部分满分150分，时间120分钟第卷（选择、填空题，共80分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合，然后再求出即可详解】由题得，又，所以故选C【点睛】本题以不等式的解法为载体考查集合的交集运算，属于基础题2.已知数列为等差数列，则（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可得,即可得到,进而求解即可【详解】解:设等差数列的公差

2、为,解得,则,故选:C【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题,利用等差数列的通项公式即可得出3.在中，角，所对的边分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦公式把边化角，再由即可求解【详解】解：由正弦定理得，因为，所以，.故选【点睛】本题考查利用正弦定理解决问题，正弦定理：边化角：，属于基础题4.在等差数列中，且，成等比数列，则（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】由成等比数列，求得，再由等差数列的通项公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为 ，由成等比数列，则，即，解得或（舍去），所以，故选C.

3、【点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.设在R，则“cos”是“的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】cos，反之不成立，例如：2即可判断出关系【详解】cos，反之不成立，例如：2“cos”是“的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B

4、【解析】当时，平面内的直线m不一定和平面垂直，但当直线m垂直于平面时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“”是“m”的必要不充分条件7.已知二元一次不等式组表示的平面区域为D，命题p：点在区域D内；命题q：点在区域D内则下列命题中，真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把两点坐标分别代入不等式组判断命题与的真假,再根据命题的逻辑联结词判断即可【详解】解:把点代入不等式不成立,故命题为假命题；把点代入不等式组成立,故命题为真命题,为假命题；真命题,故选:C【点睛】本题考查判断点是否在可行域内,考查命题的真假判断,考查命题的逻辑联结词8.已知圆与双曲线的渐近线

5、相切，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，又由圆，可得圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，则，可得，故选C【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题9.设点坐标为，点在抛物线上移动，到直线的距离为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由抛物线的定义转化所求的距离和，再根据两点之间线段最短求最值.【详解】点到准

6、线的距离为，于是，所以的最小值为故选C.【点睛】本题考查抛物线的定义和两线段之和最值，属于中档题.10.在中，则的外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理可得,即,可得,进而求得外接圆面积即可【详解】由,则,即,则,所以外接圆面积为故选：D【点睛】本题考查正弦定理比值的几何意义,属于基础题11.已知命题 若为钝角三角形，则；命题若，则或，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于命题：若为钝角三角形，则当为钝角时，不等式不成立，即命题是假命题，故命题是真命题；对于命题：若，则或者，所以命题是真命题所以依据复合命题的真假判别

7、法则可知命题是真命题，应选答案B12.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据可知，转化成关于，的关系式，再根据，和的关系进而求得和的关系，则椭圆的离心率可得【详解】据题意，即，即.又，同除得，即（舍）或.故选A.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.不等式解集是_.【答案】【解析】【分析】原不等式即为或，分别解出，再求交集即可【详解】不等式10即为0，即为或，即有x或x4，则解集为故答案为【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查转化为一

8、次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题14.在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上，_【答案】【解析】由题意椭圆中 故是椭圆的两个焦点， ，由正弦定理得 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义以及正弦定理的应用其中合理转化椭圆定义进而应用正弦定理是解题的关键15.已知数列的通项公式为（表示不超过的最大整数），为数列的前项和，若存在满足，则的值为_【答案】108【解析】，当时，显然不存在；当时，显然不存在；当时，解得：k=108故答案为10816.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P是以为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为_【答案】y

9、2x【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF1PF2，由三角形的中位线定理可得PF1OQ，OQ的方程设为bx+ay0，运用点到直线的距离公式可得F1（c，0）到OQ的距离，结合双曲线的定义可得b2a，进而双曲线的渐近线方程【详解】双曲线的渐近线方程为yx，点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1PF2，线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQPF2，且PF1OQ，OQ的方程设为bx+ay0，可得F1（c，0）到OQ的距离为b，即有|PF1|2b，|PF2|2|OQ|2a，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2b2a2a，即b2a，所以双曲线的渐近线方程为y

10、2x故答案为：y2x【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理能力，属于中档题第卷（解答题 共70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知，命题，命题，（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意解可得；（2）问题转化为在的值域,由“对勾函数”的单调性可得【详解】解：（1）命题,为真命题,解得,实数的取值范围为（2）命题,为真命题,在上有解,由对勾函数可知,在单调递增,在单调递减,当时,取最大值；当时,；当时,所以的最小值为,实数的取值范

11、围为:【点睛】本题考查已知命题的真假求参数问题,考查全称命题和存在性命题18.设数列满足.(1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求.【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】（1）由，求出时的通项，再检验时，是否满足所求通项公式即可；（2）由（1）得到，用裂项相消法，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以当时，所以，即，当时，满足，所以.（2）由（1）知，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，熟记递推关系式，以及裂项的常见形式即可，属于常考题型.19.在中，角、所对的边分别为、，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.

12、【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值，再由角的取值范围可求出角的值；（2）利用正弦定理得出，于是得出，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数，可求出的最大值.【详解】（1），且，即，即，化简得，则，得.，；（2）由正弦定理得，则，所以，为锐角，且，则，当时，取得最大值.【点睛】本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.20.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品

13、要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨（1）列出甲、乙两种产品满足的关系式，并画出相应的平面区域；（2）在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨时可获得利润最大，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形及具体的解答过程）【答案】（1），图见解析（2）甲、乙两种产品各3吨和4吨时可获得利润最大，最大利润是27万元【解析】【分析】（1）先设该企业生产甲产品为吨,乙产品为吨,列出约束条件,再根据约束条件画出可行域即可；（2）设,则,平

14、移直线,找到可行域内截距最大时的点,进而求解即可【详解】解:（1）设该企业生产甲产品为吨,乙产品为吨,则该企业可获得利润为,则满足条件的约束条件为,满足约束条件的可行域如下图所示：（2）由（1）可化为,平移直线,由图可知,当直线经过时取最大值,联立,解得,的最大值为（万元）,【点睛】本题考查线性规划在实际问题中的应用.处理线性规划的应用题时,其步骤为:分析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件；由约束条件画出可行域；分析目标函数与直线截距之间的关系；使用平移直线法求出最优解；还原到现实问题中21.在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，直线与椭

15、圆交于、两点，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率可得出，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出和的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求出的范围，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式求出的高，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求出该三角形面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，.则椭圆方程可化为，将点的坐标代入椭圆的方程得，可得，因此，椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，整理得，得.由韦达定理得，.则，直线的一般方程为，点到

16、直线的距离为，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，面积最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求解直线与椭圆的综合问题时，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.22.（1）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线交于两点，为坐标原点，为的中点，且的斜率为，求椭圆的方程.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）设与共渐近线的双曲线的方程为，将点代入双曲线中，可得，即，代入可得，双曲线的方程为.（2）设，将坐标代入椭圆可得，可得，由直线的斜率为可得，而的斜率为，所以，直线过椭圆的右焦点，可得，由，得到，所以椭圆的标准方程为.