第八章 第7节 第2课时 利用空间向量解决有关空间角的开放问题.pptx

1、第2课时 利用空间向量解决有关空间角的开放问题,考点一 与线面角有关的探索性问题,(1)求证：A1D平面BCED； (2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.,(1)证明 题图(1)中，由已知可得：AE2，AD1，A60.,故得AD2DE2AE2，ADDE，BDDE. 题图(2)中，A1DDE，BDDE， A1DB为二面角A1DEB的平面角， 又二面角A1DEB为直二面角，A1DB90，即A1DDB， DEDBD且DE，DB平面BCED，A1D平面BCED.,(2)解 存在.由(1)知EDDB，A1D平面BCED. 以

2、D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，过P作PHDE交BD于点H，,因为ED平面A1BD，,因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60，,规律方法 解决此类问题的基本策略是执果索因，其结论明确需要求出使结论成立的充分条件，将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点，建立方程(组)并解方程(组)，若有解，则存在并求得结论成立的条件，若无解，则不存在.,(1)求证：ADPC； (2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.,(1)证明 如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，,由余弦定

3、理得，AC2AB2BC22ABBCcos 454， 得AC2， 所以AC2BC2AB2， 所以ACB90，即BCAC. 又ADBC，所以ADAC，,所以AD2AP2DP2，所以PAAD， 又APACA，所以AD平面PAC，所以ADPC.,(2)解 因为侧面PAD底面ABCD，PAAD，所以PA底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两互相垂直，以A为原点，直线AD，AC，AP为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,设平面PDC的法向量为n(x，y，z)，,令x1，得n(1，1，1). 因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，,考点二 与二面角有关的探索性

4、问题 多维探究 角度1 已知二面角探求长度,(1)求证：平面PBC平面PQB； (2)当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60？,BCQD，BCQD， 四边形BCDQ为平行四边形，BQCD. ADC90，BCBQ. PAPD，AQQD，PQAD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PQ平面ABCD，PQBC. 又PQBQQ，BC平面PQB. BC平面PBC，平面PBC平面PQB.,设平面MBQ的法向量为m(x，y，z)，,设平面PDC的法向量为n(x，y，z)，,角度2 已知二面角探求角度 【例22】 (2019河北“五个一”名校联考)如图所示

5、的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，ABC60，AB2BC2CD，四边形DCEF是正方形，N，G分别是线段AB，CE的中点.,(1)(一题多解)求证：NG平面ADF；,(1)证明 法一 如图，设DF的中点为M，连接AM，GM，,因为四边形DCEF是正方形，所以MG綊CD，又四边形ABCD是梯形，且AB2CD，ABCD，点N是AB的中点， 所以AN綊DC，所以MG綊AN，所以四边形ANGM是平行四边形，所以NGAM. 又AM平面ADF，NG平面ADF，所以NG平面ADF.,法二 如图，连接NC，NE，,因为N是AB的中点，四边形ABCD是梯形，AB2CD，ABCD， 所以AN綊CD，

6、所以四边形ANCD是平行四边形， 所以NCAD， 因为AD平面ADF，NC平面ADF，所以NC平面ADF， 同理可得NE平面ADF，又NCNEN， 所以平面NCE平面ADF， 因为NG平面NCE，所以NG平面ADF.,(2)解 设CD的中点为O，EF的中点为P，连接NO，OP，易得NOCD，以点O为原点，以OC所在直线为x轴，以NO所在直线为y轴，以过点O且与平面ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.,因为NOCD，OPCD，所以NOP是二面角ACDF的平面角， 则NOP，所以POy，,设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，,由图可知二面角ABCE为锐角，,规律方法 1.解决

7、探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在. 2.探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用. 3.利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理.,【训练2】 (2019华南师大附中质检)如图，在五面体ABCDEF中，ABCDEF，ADCD，DCF60，CDEFCF2AB2AD2，平面CDEF平面ABCD.,(1)求证：CE平面ADF； (2)已知P为棱BC上的点，试确定点P的位置，使二面角PDFA的大小为60.,(1)证明 CD

8、EF，CDEFCF， 四边形CDEF是菱形，CEDF. 平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，ADCD，AD平面ABCD， AD平面CDEF，CE平面CDEF，ADCE. 又AD平面ADF，DF平面ADF，ADDFD， 直线CE平面ADF.,(2)解 由(1)知四边形CDEF为菱形，又DCF60， DEF为正三角形. 如图，取EF的中点G，连接GD，则GDEF.,EFCD，GDCD. 平面CDEF平面ABCD，GD平面CDEF，平面CDEF平面ABCDCD，GD平面ABCD. 又ADCD，直线DA，DC，DG两两垂直. 以D为原点，分别以DA，DC，DG所在的直线为x轴、y轴

9、、z轴，建立如图的空间直角坐标系Dxyz.,CDEFCF2，ABAD1，,设平面PDF的法向量为n(x，y，z)，,二面角PDFA的大小为60，,P在靠近点B的CB的三等分点处.,考点三 与空间角有关的最值问题,(1)求证：平面BED平面ABCD； (2)若点P在平面ABE内运动，且DP平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值.,(1)证明 如图，连接AC，交BD于点O，连接EO，,ADAB，CDCB，ACAC， ADCABC，易得ADOABO， AODAOB90， ACBD. 又ECBD，ECACC，BD平面AEC， 又OE平面AEC，OEBD. 又底面ABCD是圆内接四边形

10、， ADCABC90，,易得AEOACE，AOEAEC90， 即EOAC. 又AC，BD平面ABCD，ACBDO， EO平面ABCD， 又EO平面BED，平面BED平面ABCD.,(2)解 如图，取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，DM，,则MNBE，由(1)知，DACBAC30， 即DAB60， ABD为正三角形，DNAB，又BCAB， 平面DMN平面EBC，点P在线段MN上. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面ABE的法向量n(x，y，z)，,设直线DP与平面ABE所成的角为，,规律方法 解决空间角的最值问题一般是把空间角的某个三角函数值表示为某个变量的函数，

11、利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用.,【训练3】 (2019南昌调研)如图所示，PA平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AEAD，ADAEAP2.,(1)求二面角APED的余弦值； (2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.,解 (1)因为PA平面ADE，AD平面ADE，AB平面ADE，所以PAAD，PAAB，又因为ABAD，所以PA，AD，AB两两垂直，,因为PAAD，ADAE，AEPAA， 所以AD平面PAE，,设平面PED的法向量为m(x，y，z).,令y1，解得z1，x1. 所以m(

12、1，1，1)是平面PED的一个法向量，,思维升华 用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想. 易错防范 求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法： (1)通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负； (2)当不易观察二面角是锐角还是钝角时可判断两半平面的法向量与二面角的位置关系来确定.,直观想象立体几何中的动态问题,1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间

13、形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养. 2.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等. 3.一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(理科还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).,A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分,答案 B,【例2】 (2018石家庄一模)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf(x)的图像是( ),解析 过M作MNAB，交AB于N，则MN平面ABCD，过N作NQAD，交CD于Q，过Q作QHPD，交PC于H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面，,NE2(2x)x，MHx.,函数yf(x)的图像如图.故选C.,答案 C,答案 ,【例4】 已知ABCD平面ADEF，ABAD，CDAD，且AB1，ADCD2，ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为( ),答案 C,