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类型第八章 第6节 空间向量及空间位置关系.pptx

  • 上传人(卖家):LY520
  • 文档编号:375126
  • 上传时间:2020-03-16
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    关 键  词:
    第八章 第6节 空间向量及空间位置关系 第八 空间 向量 位置 关系 下载 _三轮冲刺_高考专区_数学_高中
    资源描述:

    1、第6节 空间向量及空间位置关系,最新考纲 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直;4.理解直线的方向向量及平面的法向量;5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.,知 识 梳 理,1.空间向量的有关概念,大小,方向,相同,相等,相反,相等,平行,重合,同一个平面,ab,xayb,1,(3)空间向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,

    2、a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数1,2,3,使得a_. 空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底.,1e12e23e3,3.空间向量的数量积及运算律,非零向量a,b的数量积ab|a|b|cosa,b. (2)空间向量数量积的运算律: 结合律:(a)b(ab); 交换律:abba; 分配律:a(bc)abac.,0,,互相垂直,4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1,a2b2,a3b3,a1b1a2b2a3b30,6.空间位置关系的向量表示,n1n20,nm0,nm0,微点提醒,3.向量的数

    3、量积满足交换律、分配律,即abba,a(bc)abac成立,但不满足结合律,即(ab)ca(bc)不一定成立. 4.用向量知识证明立体几何问题,仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行,则a.( ) (3)若a,b,c是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.( ) (4)若ab0,则a,b是钝角.( ) (5)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( ),解析 (1)直线的方向向量

    4、不是唯一的,有无数多个; (2)a;(3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成一个基底; (4)若a,b,则ab0,故不正确;(5)两个平面可能平行或重合. 答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.(选修21P41练习2改编)已知平面,的法向量分别为n1(2,3,5),n2(3,1,4),则( ) A. B. C.,相交但不垂直 D.以上均不对 解析 n1n2,且n1n2230,相交但不垂直. 答案 C,3.(选修21P38A5(3)改编)已知a(cos ,1,sin ),b(sin ,1,cos ),则向量ab与ab的夹角是_.,解析 ab(cos sin ,2,c

    5、os sin ), ab(cos sin ,0,sin cos ), (ab)(ab)(cos2 sin2 )(sin2 cos2 )0,,4.(2019郑州检测)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是( ),解析 设n(x,y,z)为平面ABC的法向量,,答案 C,5.(2018合肥月考)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是_.,答案 垂直,考点一 空间向量的数量积及应用 典例迁移,【例1】 (经典母题)如图所示,已知空间四边形ABCD

    6、的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:,则|a|b|c|1,a,bb,cc,a60,,【迁移探究1】 本例的条件不变,求证:EGAB.,【迁移探究2】 本例的条件不变,求EG的长.,【迁移探究3】 本例的条件不变,求异面直线AG和CE所成角的余弦值.,规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算. 2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. (1)a0,b0,abab0;,【训练1】 如图所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角

    7、为60.,(1)求AC1的长; (2)求证:AC1BD; (3)求BD1与AC夹角的余弦值.,考点二 用空间向量证明平行和垂直问题,(1)求证:AE平面BCF; (2)求证:CF平面AEF.,证明 取BC中点H,连接OH,则OHBD, 又四边形ABCD为正方形, ACBD,OHAC,,(1)设平面BCF的法向量为n(x,y,z),,又四边形BDEF为平行四边形,,又AEAFA,AE,AF平面AEF,CF平面AEF.,规律方法 1.证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行

    8、,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.,求证:(1)A1B1平面AA1C; (2)AB1平面A1C1C. 证明 因为二面角A1ABC是直二面角,四边形A1ABB1为正方形, 所以AA1平面BAC.,所以CAB90,即CAAB, 所以AB,AC,AA1两两互相垂直,,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

    9、,设AB2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).,设平面AA1C的一个法向量n(x,y,z),,取y1,则n(0,1,0),,所以A1B1平面AA1C.,设平面A1C1C的一个法向量m(x1,y1,z1),,令x11,则y11,z11, 即m(1,1,1).,又AB1平面A1C1C,所以AB1平面A1C1C.,考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题 多维探究 角度1 与平行有关的探索性问题 【例31】 (2018西安八校联考)已知某几何体的直观图和三视图如图,其主视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.M为AB

    10、的中点,在线段CB上是否存在一点P,使得MP平面CNB1?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.,解 由几何体的三视图可知AB,BC,BB1两两垂直,ANABBC4,BB18.如图,分别以AB,BB1,BC所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Bxyz,则A(4,0,0),B(0,0,0),C(0,0,4),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4). 设平面CNB1的法向量为n(x,y,z).,令x1,可得平面CNB1的一个法向量为n(1,1,2). 设P(0,0,a)(0a4).,在线段CB上存在一点P,使得MP平面CNB1,此时BP1.,角度2 与垂直有关的探

    11、索性问题 【例32】 如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC4,ABAD2.,(1)求证:ACBF;,(1)证明 平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCDAD,AFAD,AF 平面ADEF, AF平面ABCD. AC平面ABCD,AFAC.,ABAFA,AC平面FAB, BF平面FAB,ACBF.,(2)解 存在.由(1)知,AF,AB,AC两两垂直.,假设在线段BE上存在一点P满足题意,则易知点P不与点B,E重合,,设平面PAC的法向量为m(x,y,z).,【训练3】 (2019桂林模拟)如图,棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2,AB

    12、C和A1AC均为60,平面AA1C1C平面ABCD.,(1)求证:BDAA1; (2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.,(1)证明 设BD与AC交于点O,则BDAC,连接A1O,在AA1O中,AA12,AO1,A1AO60,,由于平面AA1C1C平面ABCD,且平面AA1C1C平面ABCDAC,A1O平面AA1C1C,A1O平面ABCD.,(2)解 假设在直线CC1上存在点P,使BP平面DA1C1,,取n3(1,0,1),因为BP平面DA1C1,,即点P在C1C的延长线上,且C1CCP.,思维升华 1.利用向量的线性运算和空间向量

    13、基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键. 4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类,运算方法有两种,一种是建立空间坐标系,用坐标表示向量,向量运算转化为坐标运算,另一种是选择一组基向量,用基向量表示其它向量,向量运算转化为基向量的运算.,5.用向量的坐标法证明几何问题,建立空间直角坐标系是关键,以下三种情况都容易建系:(1)有三条两两垂直的直线;(2)有线面垂直;(3)有两面垂直. 易错防范,2.找两个向量的夹角,应使两个向量具有同一起点,不要误找成它的补角. 3.用向量证明立体几何问题,写准点的坐标是关键,要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.,

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