第八章 第6节 空间向量及空间位置关系.pptx
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1、第6节 空间向量及空间位置关系,最新考纲 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直;4.理解直线的方向向量及平面的法向量;5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.,知 识 梳 理,1.空间向量的有关概念,大小,方向,相同,相等,相反,相等,平行,重合,同一个平面,ab,xayb,1,(3)空间向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,
2、a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数1,2,3,使得a_. 空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底.,1e12e23e3,3.空间向量的数量积及运算律,非零向量a,b的数量积ab|a|b|cosa,b. (2)空间向量数量积的运算律: 结合律:(a)b(ab); 交换律:abba; 分配律:a(bc)abac.,0,,互相垂直,4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1,a2b2,a3b3,a1b1a2b2a3b30,6.空间位置关系的向量表示,n1n20,nm0,nm0,微点提醒,3.向量的数
3、量积满足交换律、分配律,即abba,a(bc)abac成立,但不满足结合律,即(ab)ca(bc)不一定成立. 4.用向量知识证明立体几何问题,仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行,则a.( ) (3)若a,b,c是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.( ) (4)若ab0,则a,b是钝角.( ) (5)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( ),解析 (1)直线的方向向量
4、不是唯一的,有无数多个; (2)a;(3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成一个基底; (4)若a,b,则ab0,故不正确;(5)两个平面可能平行或重合. 答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.(选修21P41练习2改编)已知平面,的法向量分别为n1(2,3,5),n2(3,1,4),则( ) A. B. C.,相交但不垂直 D.以上均不对 解析 n1n2,且n1n2230,相交但不垂直. 答案 C,3.(选修21P38A5(3)改编)已知a(cos ,1,sin ),b(sin ,1,cos ),则向量ab与ab的夹角是_.,解析 ab(cos sin ,2,c
5、os sin ), ab(cos sin ,0,sin cos ), (ab)(ab)(cos2 sin2 )(sin2 cos2 )0,,4.(2019郑州检测)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是( ),解析 设n(x,y,z)为平面ABC的法向量,,答案 C,5.(2018合肥月考)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是_.,答案 垂直,考点一 空间向量的数量积及应用 典例迁移,【例1】 (经典母题)如图所示,已知空间四边形ABCD
6、的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:,则|a|b|c|1,a,bb,cc,a60,,【迁移探究1】 本例的条件不变,求证:EGAB.,【迁移探究2】 本例的条件不变,求EG的长.,【迁移探究3】 本例的条件不变,求异面直线AG和CE所成角的余弦值.,规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算. 2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. (1)a0,b0,abab0;,【训练1】 如图所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角
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