第八章 第5节 垂直关系.pptx

1、第5节 垂直关系,最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.,知 识 梳 理,1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的_一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.,任何,(2)判定定理与性质定理,la,lb,a,b,a,b,两条相交直线,平行,2.直线和平面所成的角,(1)定义：一条斜线和它在平面上的_所成的_叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_ ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0

2、的角.,(2)范围：_.,射影,锐角,直角,3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角； (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范围：0，. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(2)判定定理与性质定理,垂线,l,l,交线,a,la,l,微点提醒,1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则

3、它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ),解析 (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面

4、平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修2P40例3改编)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为( ) A.b B.b C.b或b D.b与相交 答案 C,3.(必修2P42A5改编)已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的是( ) A. B. C. D.,

5、解析 如图，因为PAPB，PAPC，PBPCP，且PB平面PBC，PC平面PBC，所以PA平面PBC.又BC平面PBC，所以PABC，同理可得PBAC，PCAB，故正确. 答案 A,4.(2019安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是( ) A.且m B.mn且n C.mn且n D.mn且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确. 答案 C,5.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC,解析 如图，由题设

6、知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.,又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD， 又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1. 答案 C,6.(2018安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是( ) A.若a，b，则ab B.若a，b，ab，则 C.若a，ab，则b D.若a，ab，则b或b 解析 对于A，若a，则a，又b，故ab，故A正确； 对于B，若a，ab，则b或b，存在直线m，使得mb， 又b，m，.故B正确； 对于C，若a，ab，则b 或b，又，所以b或b，故C错误； 对于D，若a，ab

7、，则b或b，故D正确. 答案 C,考点一 线面垂直的判定与性质,(1)证明：PO平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.,(1)证明 因为APCPAC4，O为AC的中点，,由OP2OB2PB2知，OPOB. 由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.,(2)解 作CHOM，垂足为H.,又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离.,规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll). 2

8、.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,【训练1】 (2019南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.,(1)求证：BC1平面ABC；,(1)证明 AB平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，ABBC1， 在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160，,又AB，BC平面ABC，BCABB，BC1平面ABC.,考点二 面面垂直的判定与性质 【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PA

9、D底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：,(1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD.,证明 (1)平面PAD底面ABCD， 且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD， PA底面ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点， ABDE，且ABDE. 四边形ABED为平行四边形. BEAD. 又BE平面PAD，AD平面PAD， BE平面PAD.,(3)ABAD，而且ABED为平行四边形. BECD，ADCD， 由(1)知PA底面ABCD，CD 平面ABCD， PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD， CD平面PAD，

10、又PD 平面PAD，CDPD. E和F分别是CD和PC的中点，PDEF. CDEF，又BECD且EFBEE， CD平面BEF，又CD 平面PCD， 平面BEF平面PCD.,规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理. 2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,(1)求证：平面SBD平面SAD；,(1)证明 设BCa，则CDa，AB2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，,所以ABDABCCBD45，,因为AD2BD24a2AB2，所以BDAD， 由于平面SAD底面

11、ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD平面ABCD， 所以BD平面SAD， 又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.,作SHAD，交AD的延长线于点H，,由(1)知BD平面SAD， 因为SH平面SAD，所以BDSH. 又ADBDD，所以SH平面ABCD， 所以SH为三棱锥SBCD的高，,由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，,在等腰三角形SBA中，,考点三 平行与垂直的综合问题 多维探究 角度1 多面体中平行与垂直关系的证明 【例31】 (2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.

12、,(1)求证：PEBC； (2)求证：平面PAB平面PCD； (3)求证：EF平面PCD.,证明 (1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD. 因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC. (2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD. 又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 所以AB平面PAD.所以ABPD. 又因为PAPD，且PAABA， 所以PD平面PAB.又PD平面PCD， 所以平面PAB平面PCD.,(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG. 因为F，G分别为PB，PC的中点，,因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，,所以DEFG，DEFG. 所以四边

13、形DEFG为平行四边形. 所以EFDG. 又因为EF平面PCD，DG 平面PCD， 所以EF平面PCD.,规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.,角度2 平行与垂直关系中的探索性问题 【例32】 如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.,(1)求三棱锥PABC的体积；,解 (1)由题知AB1，AC2，BAC60，,由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高.,(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN

14、PA交PC于点M，连接BM.,由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC. 由于BNMNN，故AC平面MBN. 又BM 平面MBN，所以ACBM.,规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. 2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.,角度3 空间位置关系与几何体的度量计算 【例33】 如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.,(1)求异

15、面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.,(1)解 如图，由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.,因为AD平面PDC，PD平面PDC， 所以ADPD.,(2)证明 由(1)知ADPD，又因为BCAD，所以PDBC. 又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC.,(3)解 过点D作DFAB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角. 因PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角. 由于ADBC，DFAB，故BFAD1.

16、 由已知，得CFBCBF2. 又ADDC，故BCDC.,规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由ADBC，ADPD，得PDBC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD平面PBC. 2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可. (1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：定义法；垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.,【训练3】 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点

17、E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.,(1)证明：PEFG. (2)求二面角PADC的正切值. (3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.,(1)证明 因为PDPC且点E为CD的中点，所以PEDC. 又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC， 所以PE平面ABCD，又FG平面ABCD，所以PEFG. (2)解 由(1)知PE平面ABCD，PEAD， 又ADCD，PECDE，AD平面PDC，ADPD， PDC为二面角PADC的平面角， 在RtPDE中，PD4，DE3，,(3)解 如图，连接AC，AF2FB，CG2GB，ACFG

18、.,直线PA与FG所成角即直线PA与AC所成角PAC. 在RtPDA中，PA2AD2PD225，PA5. 又PC4.,思维升华 1.证明线面垂直的方法：,(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；,(3)判定定理2：ab，ab； (4)面面垂直的性质：，l，a，ala； 2.证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a，a.,3.转化思想：三种垂直关系之间的转化,易错防范 1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件. 2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视. 3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误. 4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.,