第七章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式.pptx

1、,第1节 不等式的性质与一元二次不等式,最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.,知 识 梳 理,1.实数的大小顺序与运算性质的关系,(1)abab0； (2)abab0； (3)abab0.,2.不等式的性质,(1)对称性：abba； (2)传递性：ab，bcac； (3)可加性：abac_bc；ab，cdac _ bd； (4)可乘性：ab，c0ac _

2、 bc；ab，c0acbc；ab0，cd0ac _ bd； (5)可乘方：ab0an _ bn(nN，n1)；,3.三个“二次”间的关系,x|xx2 或xx1,R,x|x1xx2,微点提醒,1.有关分数的性质,2.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记a0时的情形. 3.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)abac2bc2.( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0(a0)的解集为R.( ) (4)不等式ax2bx

3、c0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ),解析 (1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，ab ac2bc2. (3)若方程ax2bxc0(a0(a0)的解集为. (4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修5P72思考交流改编)若ab0，cd0，则一定有( ),答案 B,A.(2，3) B.(2，2) C.(2，2 D.2，2 解析 因为Ax|x2，Bx|2x3，所以ABx|2x2(2，2. 答案 C,4.(2018抚州联考)若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是( ),答案 D,5.(2019

4、河北重点八所中学模拟)不等式2x2x30的解集为_.,6.(2018汉中调研)已知函数f(x)ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_.,解析 若a0，则f(x)10恒成立，,综上，得a4，0. 答案 4，0,考点一 不等式的性质 多维探究 角度1 比较大小及不等式性质的简单应用,【例11】 (1)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是( ),A.cba B.acb C.cba D.acb,解析 (1)cb44aa2(a2)20，cb. 又bc64a3a2，2b22a2，ba21，,显然|a|b1210，所以错误；因为ln

5、a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除A，B，D.,中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；,中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确. 答案 (1)A (2)C,角度2 利用不等式变形求范围 【例12】 (一题多解)设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.,解析 法一 设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)， 则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(n

6、m)b.,f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4. 53f(1)f(1)10，故5f(2)10.,f(2)4a2b3f(1)f(1). 又1f(1)2，2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故5f(2)10.,当f(2)4a2b过点B(3，1)时， 取得最大值432110，5f(2)10. 答案 5，10,规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法,2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用. 3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法. 4.在求式子的范围时，如果多次使用

7、不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.,【训练1】 (1)(2019东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的( ),A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 (1)a|b|能推出ab，进而得a3b3；当a3b3时，有ab，但若b|b|不成立，所以“a|b|”是“a3b3”的充分不必要条件.,答案 (1)A (2)(4，24),考点二 一元二次不等式的解法 【例21】 (1)(2019河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)x22x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_.,故

8、不等式x2bxa0为x25x60， 解得x3或x2. 答案 (1)(3，0)(3，) (2)x|x3或x2,【例22】 解关于x的不等式ax222xax(aR).,解 原不等式可化为ax2(a2)x20. 当a0时，原不等式化为x10，解得x1.,综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；,规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或). (3)求：求出对应的一元二次方程的根. (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参

9、数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.,(2)(2019铜川一模)关于x的不等式axb0的解集是( ) A.(，1)(3，) B.(1，3) C.(1，3) D.(，1)(3，),(2)关于x的不等式axb0可化为(x1)(x3)0，解得1x3， 所求不等式的解集是(1，3). 答案 (1)D (2)C,考点三 一元二次不等式恒成立问题 多维探究 角度1 在实数R上恒成立,【例31】 (2018大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是( ) A.(，2) B.(，2 C.(2，2)

10、 D.(2，2,答案 D,角度2 在给定区间上恒成立 【例32】 (一题多解)设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_.,解析 要使f(x)m5在1，3上恒成立，故mx2mxm60，,当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.,当m0时，g(x)在1，3上是减函数， 所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.,角度3 给定参数范围的恒成立问题 【例33】 已知a1，1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为( ) A.(，2)(3，) B.(，1)(2，) C.(，1)(3，) D.(1

11、，3),答案 C,规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.,【训练3】 (1)(2019河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，则k的取值范围是( ),A.0，1 B.(0，1 C.(，0)(1，) D.(，01，),答案 (1)A (2)C,思维升华 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差变形判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 易错防范 1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a0的情况转化为a0时的情形. 2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.,