第六章 第4节 数列求和.pptx

1、第4节 数列求和,最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.,知 识 梳 理,1.特殊数列的求和公式,2.数列求和的几种常用方法,(1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求

2、这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.,微点提醒,3.裂项求和常用的三种变形,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( ),解析 (3)要分a0或a1或a0且a1讨论求解. 答案 (1) (2) (3) (4),A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021,答案 B,4.(2018东北三省四校二模)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|( ) A.9 B.15 C.18 D.30,解析 由题意知an是以2为公差的等差数列，又a15，所以|a1|

3、a2|a6|5|3|1|13553113518. 答案 C,5.(2019榆林调研)已知数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，bnan2n1，且SnTn2n1n22，则2Tn_.,解析 由题意知TnSnb1a1b2a2bnann2n12， 又SnTn2n1n22， 所以2TnTnSnSnTn2n2n(n1)4. 答案 2n2n(n1)4,答案 an2(n1),考点一 分组转化法求和,【例1】 (2019郴州质检)已知在等比数列an中，a11，且a1，a2，a31成等差数列.,(1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足bn2n1an(nN+)，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与n

4、22n的大小.,解 (1)设等比数列an的公比为q，a1，a2，a31成等差数列，,(2)由(1)知bn2n1an2n12n1， Sn(11)(32)(522)(2n12n1) 135(2n1)(12222n1),Sn(n22n)10，Snn22n.,规律方法 1.若数列cn的通项公式为cnanbn，且an，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前n项和.,【训练1】 (2019南昌一模)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.,(1)求数列an的通项公式； (2)令bn(1)n1an，求数列bn的前2n项和T2n.,解 (1)设等差数列an的公差为d， 由S3S

5、4S5可得a1a2a3a5，即3a2a5， 3(1d)14d，解得d2. an1(n1)22n1. (2)由(1)可得bn(1)n1(2n1). T2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.,考点二 裂项相消法求和,(1)求数列an的通项公式；,即an13an2，又a283a12，an13an2，nN+， an113(an1)，数列an1是等比数列，且首项为a113，公比为3， an133n13n，an3n1.,规律方法 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项. 2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差

6、和系数之积与原通项公式相等.,【训练2】 设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33.,(1)求an；,解 (1)设数列an的公差为d，,解得a13，d2， ana1(n1)d2n1.,Tnb1b2bn1bn,考点三 错位相减法求和 【例3】 已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a26，a1a2a3.,(1)求数列an的通项公式；,解 (1)设an的公比为q，,又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.,规律方法 1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类

7、型，特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.,【训练3】 已知等差数列an满足：an1an(nN+)，a11，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an2log2bn1.,(1)分别求数列an，bn的通项公式； (2)求数列anbn的前n项和Tn.,解 (1)设等差数列an的公差为d，则d0， 由a11，a21d，a312d分别加上1，1，3后成等比数列， 得(2d)22(42d)， 解得d2(舍负)，所以an1(n1)22n1.,思维升华 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想 1.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； 2.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 易错防范 1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论. 2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号. 3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.,