2023届三角函数求参数题型梳理.docx

1、三角函数求参数问题解析三角函数中的参数范围问题是三角函数中中等偏难的问题，很多同学由于思维方式不对，导致问题难解。此类问题主要分为五类，它们共同的方法是将相位看成整体，结合正弦函数或余弦函数的图像与性质进行求解。类型一 的取值范围与单调性相关方法提示：含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围.例1将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（ ）AB1CD例2 若在上是减函数，则的最大值是（ ）ABCD自主练习1若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）ABCD2.若函

2、数fx=12cosx+sinxcosxsinx4a+4a3x在0，2上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）A.a32B.32a3C.a1D.1a0)，f(6)=f(3)，且f(x)在区间(6,3)上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A23 B113 C143 D732.设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）ABCD类型三 三角函数的零点与的取值范围方法提示：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数

3、分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解例1.设函数，若函数恰有5个零点，则的值为（ ）ABCD例2（多选）设函数，已知在有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A.在有且仅有2个零点 B在单调递增C的取值范围是D将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数自主练习1.已知函数，若方程在上有且只有四个实根数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.2.已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数取值范围是（ ）ABCD类型4 三角函数的极

4、点与的范围方法提示：极点=最值点=对称轴例1（多选）设函数，已知在有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是（ ）AB在上单调递增C在上单调递减 D在上至多有2个极大值点例2已知函数在区间上至少有个不同的极小值点，则的取值范围是_自主练习1.若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）ABCD2.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 五三角函数的性质综合与w的范围方法提示：函数的性质：（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数；（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为；（3）单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；

5、由得单调减区间；（2）对称性：对称中心：利用的对称中心为求解，令，求得；对称轴：利用的对称轴为求解，令得其对称轴例1.（多选）已知函数为偶函数，点、是图象上的两点，若的最小值为，则下列说法正确的有（ ）A BC D在区间上单调递增例2.（多选）在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A在区间上的单调性无法判断B图象的一个对称中心为C在区间上的最大值与最小值的和为D将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则自主练习1.已知函数，且的图像平移个单位后所得的图象关于坐标原点

6、对称，则的最小值为（ ）ABCD2.已知函数(，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）A5B7C9D11综合练习1已知函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）ABCD2.已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）ABCD3.已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（ ）ABCD4.已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）ABCD5.已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）ABCD6.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，则下列四

7、个结论中正确的是（ ）A函数的图象关于中心对称B函数在区间内有个零点C函数的图象关于直线对称D函数在区间上单调递增三角函数求参数问题解析三角函数中的参数范围问题是三角函数中中等偏难的问题，很多同学由于思维方式不对，导致问题难解。此类问题主要分为五类，它们共同的方法是将相位看成整体，结合正弦函数或余弦函数的图像与性质进行求解。类型一 的取值范围与单调性相关方法提示：含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围.例1将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（ ）AB1CD

8、【答案】A【分析】先根据图象变换得到的解析式，根据可得此函数单调减区间的一般形式，根据其在上的单调性可求正数的范围，故可得正确的选项.【详解】，故，令，故，故存在，使得，故即，解得，故正数的最大值为.故选：A.例2 若在上是减函数，则的最大值是（ ）ABCD【答案】D【解析】，由辅助角公式可得： 令，解得：，则函数的单调减区间为，又在上是减函数，则，当时，函数的单调减区间为， ，解得：，故答案选D。自主练习1若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用，得，再根据单调性，得，列不等式求解.【详解】当时，因为在上单调递增，所以，得，又，则故选：D2.若函数fx=12co

9、sx+sinxcosxsinx4a+4a3x在0，2上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）A.a32B.32a3C.a1D.1a0)，f(6)=f(3)，且f(x)在区间(6,3)上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A23 B113 C143 D73【答案】C【解析】 因为f(x)=sin(x+3)，且f(6)=f(3)，又f(x)在区间(6,3)内只有最小值，没有最大值，所以f(x)在6+32=4处取得最小值，所以4+3=2k2，所以=8k103(kZ)，当k=2时，=16103=283，此时函数f(x)在区间(6,3)内存在最大值，故=143，故选C.2.设函数在区间上单调，且，当时，取到

10、最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【分析】首先设函数，由条件确定周期和的范围，再利用对称性求出对称中心和对称轴，求，代入求，利用伸缩变换求，最后解不等式.【详解】函数的最大值为2，在区间上单调，所以，即， ，即，是函数的对称轴，是函数的对称中心， 和是函数相邻的对称轴和对称中心，得，当时，取到最大值2，当时，根据题意可知，解得：，.的解集是.故选：A类型三 三角函数的零点与的取值范围方法提示：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（

11、2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解例1.设函数，若函数恰有5个零点，则的值为（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知可得有5个根，作出的图像，利用正弦型函数图像的对称性，找出间的关系，即可求得结果.【详解】由函数恰有5个零点，知有5个根，由五点法作图，02x0100如图，可知过点，又则，;故选：D.例2（多选）设函数，已知在有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A.在有且仅有2个零点 B在单调递增C的取值范围是D将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横

12、坐标扩大为原来的2倍，得到函数【答案】BC【分析】首先利用图象直接判断A选项；再利用函数在有且仅有5个零点，求得的范围，并利用整体代入的方法判断B选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D.【详解】A.如图，上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是在上的3个零点； B.时， 若函数在有且仅有5个零点，则，得，当时，此时函数单调递增，故BC正确；D. 函数的图象先右移个单位后得到，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到，故D不正确；故选：BC自主练习1.已知函数，若方程在上有且只有四个实根数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，方程在上

13、有且只有四个实数根，即在上有且只有四个实数根，设，因为，所以，所以，解得，故选B.2.已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得，得，故，因为，所以.由，得，因为，故，所以，从而当时，令，则由题意得在上有唯一解，故由正弦函数图象可得或，解得.故选D类型4 三角函数的极点与的范围方法提示：极点=最值点=对称轴例1（多选）设函数，已知在有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是（ ）AB在上单调递增C在上单调递减 D在上至多有2个极大值点【答案】B【分析】利用已知条件求出的范围，判断A；利用函数的单调性判断B、C；函数的极大值判断D.【

14、详解】由题，因为在有且仅有2个极小值点，所以，即，因为，所以，故A正确；因为，所以，因为在单调递增，只有当时在单调递增才成立，故B错误；因为在单调递减，所以在上单调递减，故C正确；因为，两端点取不到，且，所以在至多有2个极大值点，故D正确.故选：B例2已知函数在区间上至少有个不同的极小值点，则的取值范围是_【答案】【解析】设，由可得,作出的图像如下：结合图像，当函数在区间上有个不同的极小值点时，且，解得；当有个以上不同的极小值点时，解得.综上可得的取值范围是.自主练习1.若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】作出函数图像如图所示，因为，所以由图得当是A

15、的横坐标，是B的横坐标时，函数满足，在之间只有一个极值点，但是只要x的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以.当是O的横坐标，是C的横坐标时，函数满足，在之间有两个极值点，所以.所以.故选：D2.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 在区间上是增函数， ，得不等式组，又0，；因函数在x= 处取得最大值，可得0，综述可知.五三角函数的性质综合与w的范围方法提示：函数的性质：（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数；（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为；（3）单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增

16、区间；由得单调减区间；（2）对称性：对称中心：利用的对称中心为求解，令，求得；对称轴：利用的对称轴为求解，令得其对称轴例1.（多选）已知函数为偶函数，点、是图象上的两点，若的最小值为，则下列说法正确的有（ ）A BC D在区间上单调递增【答案】AC【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，可判断A选项的正误；根据函数为偶函数可求出的值，可判断B选项的正误；求出的值，可判断C选项的正误；利用余弦型函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，点、是图象上的两点，可得，若的最小值为，则函数的最小正周期为，A选项正确；对于B选项，由于该函数为偶函数，则，可得，B选项错误；对于C选项，若，则，则

17、；若，则，则.C选项正确；对于D选项，取，则，取，则，当时，此时，函数在区间上单调递减，D选项错误.故选：AC.例2.（多选）在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）A在区间上的单调性无法判断B图象的一个对称中心为C在区间上的最大值与最小值的和为D将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则【答案】BC【分析】根据条件求出，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可.【详解】由题意得，即，又在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，所以，所以所以只有时

18、满足，此时，即，因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以，所以最大值与最小值之和为，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象，即，故D错误.综上，BC正确自主练习1.已知函数，且的图像平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】将的图像向左平移个单位，得到，因为平移后图像关于对称，带入得，可得则的最小值为；将的图像向右平移个单位，得到，因为平移后图像关于对称，带入得，可得则的最小值为；综合可知，的最小值为故选C项.2.已知函数(，)，满足且对于任意的都

19、有，若在上单调，则的最大值为（ ）A5B7C9D11【答案】C【分析】由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.【详解】由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，-得，令，则，的最小正周期，在上单调， ，解得，当时，则式为，又，此时，当时，在上不单调，不符合题意舍去；当时，则式为，又，当时， ，此时，当时，单调递增；当时，此时，当时，单调递减.的最大值为9.故选：C综合练习1已知函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据已知可得为正奇数，且4，结合x为f（x）的零点，

20、x为yf（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在上单调，可得的最大值【详解】由对称轴和零点可知，得到 由在区间上单调可知，得到 由可知可能取3.当时，可得，满足在上单调，所以满足题意，故的最大值为3.故选：C.2.已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】由，得到，根据函数在区间上单调递减，由 和求解.【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递减，所以 即，又因为在上递减，所以，所以，可得，由，解得，且，则.所以，所以实数的取值范围是故选：A3.已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A

21、【解析】函数 在区间上是增函数，故得到 当时，函数在区间上恰好取得一次最大值，故得到 综上：故答案为：A.4.已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转化成函数与函数图像交点问题，结合图形即可求解.【详解】解：根据题意画出函数的图象，如图所示：函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，当直线位于直线与直线之间时，符合题意，由图象可知：，所以，故选：D.5.已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意得，因为为锐角三角形.所以，即，从而，故选B.6.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，则下列四个结论中正确的是（ ）A函数的图象关于中心对称B函数在区间内有个零点C函数的图象关于直线对称D函数在区间上单调递增【答案】B【分析】求出的值，利用正弦型函数的对称性可判断AC选项的正误；在区间上解方程，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】由的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为，可得，所以，.A中，A错误；B中，当时，当或或或时，即当或或或时，B正确；C中，C错误；D中，当时，所以，函数在区间上不单调，D错误.故选：B.