定积分的概念与性质课件.ppt

1、5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质不定积分定积分概念概念性质性质 计算计算 应用应用第第5章定积分及其应用章定积分及其应用5.2 微积分基本公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法5.4 广义积分5.5定积分的应用5.1 定积分的概念与性质第第5章定积分及其应用章定积分及其应用理解与掌握定积分的概念与性质理解与掌握定积分的概念与性质；掌握牛顿莱布尼兹公式掌握牛顿莱布尼兹公式；了解变上限积分函数的概念，会求变上限积分函数的导数；了解变上限积分函数的概念，会求变上限积分函数的导数；了解定积分概念产生的背景了解定积分概念产生的背景；约约10学时学时掌握定积分的换元积分法与分部积分法掌握定积分

2、的换元积分法与分部积分法；了解无穷限积分的概念，会求简单的无穷限积分；了解无穷限积分的概念，会求简单的无穷限积分；掌握定积分的几何意义掌握定积分的几何意义。掌握定积分在经济上与几何上的应用，会求简单的实际应用掌握定积分在经济上与几何上的应用，会求简单的实际应用问题问题。主要内容主要内容 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例 5.1.2 5.1.2 定积分定义定积分定义 5.1.3 5.1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义 5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质新课引入新课引入?我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一我们以前学

3、过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？下，有哪些计算公式？正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。规则规则图形图形5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质?不规则图形（如图）的面积如何求？不规则图形（如图）的面积如何求？新课引入新课引入A)(xfy)(xgy ax bx 5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积1A2A我们把这类几何图形定义为曲边梯形我们把这类几何图形定义为曲边梯形)(xfy ax bx ax bx)(xgy 上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，上述图形的面积可归结为下列两个图

4、形的面积之差，即即 12AAA5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积?A byx0a)(xfy ax bx 0y曲边梯形是由连续曲线曲边梯形是由连续曲线与三条直线与三条直线所围成的平面图形所围成的平面图形曲边梯形面积如何求？曲边梯形面积如何求？()()0)yf xf x,0 xa xb y5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积xyoab四个小矩形四个小矩形xyoa

5、b九个小矩形九个小矩形5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质解决步骤：解决步骤：用分点用分点 把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间(1)(1)分割分割ix2x1x1ixbaix1(1,2,)iiixxxin第第i个小区间的长度记为个小区间的长度记为,即即(1,2,)ix in011211,iinnx xx xxxxx01211iinnaxxxxxxxb1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积5.1(2)(2)近似代替近似代替ix2x1x1ixbai在第在第i个小区间上任取一点个小区间上任取一点用以为宽，为高的小矩形的用以为宽，为高的小矩形的面积近似代替相应小曲边梯面积近似代替相应小曲边

6、梯形的面积形的面积,即即 ix()(1,2,)iiiAfxin()iifx1(),iiiixxiA()if1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质ix2x1x1ixbai(4)(4)取极限取极限(3)(3)求和求和1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积01lim()niiiAfx令令,则则11max,nxxx11()nnniiiiiAfx5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程?设设某物体作变速直线运动某物体作变速直线运动,已知速度已知速度,且且如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程？如何计算物体从时刻到时刻所经过

7、的路程？()0,v t()vv ttatb5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质01211iinnatttttttb2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程011211,iinnt tt ttttt1(1,2,)iiitttin 解决步骤：解决步骤：用分点用分点 把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间(1)(1)分割分割第第i个小区间的长度记为个小区间的长度记为,即即(1,2,)it in5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质(3)(3)求和求和(2)(2)近似代替近似代替()(1,2,)iiisvtin01lim()niiiSvt11()nnniiiiisvt(4)(4)取

8、极限取极限令令 ,则则1maxii nt 2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积01lim()niiiSvt01lim()niiiAfx?计算结果有无共同点？计算结果有无共同点？和式的极限和式的极限5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质定义定义51 设函数设函数 在区间在区间 上有定义，在上有定义，在 中插入中插入个分点，个分点，把区间分成把区间分成 个小区间个小区间每个小区间的长度依次为每个小区间的长度依次为1(1,2,)iiixxxin011211,iinnx

9、 xx xxxxxn1n01211iinnaxxxxxxxb,a b,a b()yf x5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质在每个小区间在每个小区间 上任取一点上任取一点 ，作函数，作函数值值 与小区间长度与小区间长度 的乘积的乘积 ，并作和式（称为，并作和式（称为积分积分和式和式）记记 ，如果当，如果当 时，和式的极限时，和式的极限 存在，则称这个极限值为函数存在，则称这个极限值为函数 在在 上的上的定定积分积分（简称（简称积分积分），记作），记作 ，即，即1()iiiixx1()niiifx()f x0ix1,iixx01lim()niiifx11max,nxxx()iifx()if

10、01()lim()nbiiaif x dxfx()baf x dx,a b定义定义51 5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质定理定理51 闭区间上的连续函数必可积闭区间上的连续函数必可积。说明说明l 定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有表示无关，即有l 规定规定()()baabf x dxf x dx()baf u du()baf t dt()baf

11、x dxl 定积分定积分 的值与区间的分法以及点的值与区间的分法以及点 的取法无关；的取法无关；i,a b()baf x dx5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质例例1 1解：解：o1xyni2yx则则223()iiiiifxxn取取(1,2,)in1ixn,iin根据定积分的定义，计算根据定积分的定义，计算 120.x dx将将 0,1 n 等分等分,分点为分点为iixn(0,1,)in5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质解解：o1xyni2yx111lim(1)(2)6nnn122001limniiix dxx111(1)(2)6nn23311111()(1)(21)6nnii

12、iifxin nnnn135.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质课堂练习课堂练习：为方便起见，我们可把积分为方便起见，我们可把积分简记为简记为,badx1badx1根据定积分的定义，证明根据定积分的定义，证明 1badxba1badxba即即5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的值等于曲边梯形面积；定积分的值等于曲边梯形面积；定积分的值等于曲边梯形面积的负值；定积分的值等于曲边梯形面积的负值；AA(2)()0,()dbaf xf xxA(1)()0,()dbaf xf xxA5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质abyx1A2A3A4A5A定积分的值等于各部分面积的代数和定

13、积分的值等于各部分面积的代数和有时为正，有时为负时有时为正，有时为负时(3)()f x12345()dbaf xxAAAAA5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质课堂练习课堂练习：1利用定积分的几何意义计算利用定积分的几何意义计算 121 dx（答案：（答案：）42利用定积分的几何意义计算利用定积分的几何意义计算 1201x dx（答案：）（答案：）35.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质1性质性质2推广推广()()d()d()dbbbaaaf xg xxf xxg xx12()()()bnaf xfxfxdx12()()()bbbnaaaf x dxfx dxfx dx(k

14、为常数)()d()dbbaak f xxkf xx5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质3 (积分区间可加性积分区间可加性)1A2A1A2A()d()d()dbcbaacf xxf xxf xx不论不论 位置如何，上式均成立位置如何，上式均成立,a b c5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质4性质性质5()yf x()yg x在区间在区间 上上,a b()()f xg x()()bbaaf x dxg x dx如果如果 和和 分别是在区间分别是在区间上最小值和最大值上最小值和最大值,则则 mM()f x,a b()()()bam baf x dxM ba5.1定积分的

15、概念与性质定积分的概念与性质例例2 2不计算定积分的值，比较下列定积分大小不计算定积分的值，比较下列定积分大小 解：解：(1)因为当因为当所以所以时，时，1100 xdxxdx,xx01x(2)因为当因为当时，时，所以所以ln(1),xx12x2211ln(1)xdxx dx10(1)xdx10 xdx与与 21(2)xdx21ln(1)x dx与与 5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质课堂练习课堂练习：（答案：（答案：)1100 xxdxe dx2比较定积分比较定积分 与与 的大小的大小10 xe dx10 xdx（答案：（答案：）4400sincosxdxxdx1比较定积分比较定积分

16、 与与 的大小的大小40cosxdx40sin xdx5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质6 (积分中值定理积分中值定理)上的平均值。上的平均值。()()(),()baf x dxfbaab使得使得至少存在一点至少存在一点,i通常我们称通常我们称在在为函数为函数1()()baff x dxba()f x,a b如果函数如果函数上连续，则在区间上连续，则在区间在闭区间在闭区间,a b()f x,a b上上5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质积分中值定理的几何解释积分中值定理的几何解释：i()if当当 时时,由曲线由曲线 ,直线直线 所围成的所围成的曲边梯形的面积，等于以区间曲边梯形的面积，等于以区间 为底为底、以该区间上某一点处的函数值以该区间上某一点处的函数值 为高的为高的矩形的面积矩形的面积 。()f,a b,xa xb xc()yf x()0()f xaxb5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质1定积分的概念定积分的概念2用定积分定义计算定积分的方法用定积分定义计算定积分的方法 3定积分的几何意义定积分的几何意义小结小结 5比较定积分的大小比较定积分的大小4定积分的性质定积分的性质