对数平均值的几何解释与探究(岳峻)课件.pptx

1、高考压轴题与对数平均值 中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景是：设 则 ，其中 被称之为对数平均值.一、对数平均值的概念一、对数平均值的概念,0,a b2lnlnabababablnlnabab 对数平均值在现行高中教材没有出现，但其蕴含着高等数学的背景，近几年的高考压轴题中，频频出现。安振平老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的有关不等式，难度较大，为此，本人作了一些探讨，以期对2016年的复习迎考有所启发。一、对数平均值的概念一、对数平均值的概念 设 ，则二、对数平均值的不等式链二、对数平均值的不等式链2112lnlnabbabababaab+-

2、+0,baab三、不等式链的证明三、不等式链的证明 思路思路1 1：由于 为两个独立的变量，如果能够变形为一个整体，那么就可以构造两个变量的比值（或差值）通过换元转化为一元变量，再利用导数这个工具证明此不等式.,a b 下面以 为例加以证明。2lnlnabbaba+-证法证法1 1：设 ，则不等式等价于 设函数 则 令 则 所以 在 单调递增，所以 在 单调递增，故待证不等式成立。三、不等式链的证明三、不等式链的证明0,baab()()()lnln21 ln21bbbabbabaaaa骣骣鼢珑+-+-鼢珑鼢珑桫桫 1ln211,fxxxxx 1ln1ln2,xxxxfxxxx ln11,g x

3、xxxx ln0,gxx1,g x 10,g xg 0,fx fx1,10,fxf 思路思路2 2：因为要证的不等式中含有两个变量，地位均衡.如果我们辩证的看到它们，将其中某一个变量作为主元，另外的一个变量视作为常量来处理，那么往往问题就可破解.三、不等式链的证明三、不等式链的证明证证法法2 2：设 ，则不等式等价于设函数 则 令 则 所以 在 单调递增，所以 在 单调递增，故待证不等式成立。三、不等式链的证明三、不等式链的证明0,baab()()()lnln21 ln21bbbabbabaaaa骣骣鼢珑+-+-鼢珑鼢珑桫桫 lnln1lnln1,xxaxaahxxaxx lnln1,u xx

4、xaxa xa ln1ln1lnln0,uxxaxa,a u x 0,u xu a 0,hx h x,a 0,h xh a()()()()()lnln2,h xaxxaxaxa=+-评注：评注：涉及两个变量的不等式的证明，其解题策略耐人寻味:证法1是先将不等式逆推分析，进行等价转化，使得其中的两个变量的特征、规律更明朗，然后将两个变量的比值（或和、或差、或积）替换为新的一元变量，便于构造出新的一元函数，再通过对新的一元函数求导，判断其单调性、确定极值（或最值），达到解决问题的目的，可归结为 “化归-换元-构造-求导”；证法2将地位均衡的两个变量之一作为主元，另外的一个变量视为常量来处理，构造出

5、一元函数，可归结为 “化归-主元-构造-求导”.三、不等式链的证明三、不等式链的证明 反比例函数 的图象，如图所示，作 ，轴，则 ，作 在点 处的切线分别与 交于 ，四、对数平均值的几何解释四、对数平均值的几何解释 10fxxxAPBCTUKVMNCDx1,0,A aP aa fx2,2abKab,AP BQ,E F11,0,B bQ bTabbab四、对数平均值的几何解释四、对数平均值的几何解释（1）因为 ，所以 （2）如图可知：，所以 ABNMABQPABFESSS矩形曲边梯形梯形=()12lnln,badxbabaxab=-+L()11lnln22ABQPbaS曲边梯形=-=lnlnab

6、a=-1曲边梯形abAUTPaSdxx=()1 112梯形AUTPSabaaab骣=+-桫1122梯形ABCDbaSab-=曲边梯形梯形AUTPAUTPSSlnln,babaab-L四、对数平均值的几何解释四、对数平均值的几何解释（3）又 ，所以 综上可知：即 ,矩形矩形曲边梯形梯形ABQXABYPABQPABQPSSSS()()()11 111lnln,2babababababa骣-+-桫L()()()()211 111lnln2bababababababababaab骣-+-+L 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来解决含自然对数的不等式问题对数平均数的不等式链包含多个

7、不等式，我们可以根据问题的需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的五、五、不等式链的应用不等式链的应用例例1 （2014陕西）设函数 其中 是 的导函数（1）（2）（略）（3）设 ，比较 与 的大小，并加以证明()0lnlnbaba aba-五、不等式链的应用五、不等式链的应用1 的的应用应用()()()()ln 1,f xxg xxfx=+=()fx()f xnN+12ggg n nf n解析：解析：（3）因为所以而 因此，只需比较 与 的大小即可.,1xg xx 1211112,231231nggg nnnn ln1,nf nnn111231nln1n()0lnlnbaba aba-五、不

8、等式链的应用五、不等式链的应用1 的的应用应用0ba,lnlnbabba-()1lnln,babab-解析：解析：由于 时，即令 则所以将以上各不等式相加得：故111ln1,231nn111ln2ln1ln2,ln3ln2,ln(1)ln231nnn()1ln1ln,1nnn-例例2 （2012天津）设函数 的最小值为0（1）（2）（略）（3）证明：()0lnlnbaba aba-五、不等式链的应用五、不等式链的应用1 的的应用应用 ln0f xxxaa12ln 212*.21ninnNi解析：解析：（3）易求 待证不等式等价于由于 时，即令 则因此1,a2222ln 21.35721nn0b

9、a,lnlnbabba-()1lnln,babab-21,21,anbn=-=+()()()22ln 21ln 21,21121nnnn=+-+-+222ln3ln1,ln5ln3,ln7ln5,357-L()()()2ln 21ln 21,211nnn-五、不等式链的应用五、不等式链的应用1 的的应用应用解析：解析：将以上各不等式左右两边分别相加得：即22222ln 213572121nnn122ln 2122.2121ninin例例3 设数列 的通项为 其前 项的和为 证明()2202lnlnabbababa+-五、不等式链的应用五、不等式链的应用2 的的应用应用 na1,11nan nn

10、ln1.nSn解析：解析：因为 时，即令 则易证22,2lnlnabbaba+-()()22222ln1ln2211nnnnnn+-=+1,bnan()222lnln,babaab-+,nS0ba22222nann+ln1.nSn例例4 4 （2015广州三模）记函数 的图象为曲线 设 为曲线 上的不同两点。如果在曲线 上存在点 使得：（1）（2）曲线 在点 处的切线平行于直线 则称函数 存在“中值相依切线”.试问函数 是否存在“中值相依切线”，请说明理由。()02lnlnabbababa+-五、不等式链的应用五、不等式链的应用3 的的应用应用 21ln1,02f xxaxax aR a.C解

11、析：解析：假设函数 存在“中值相依切线”，则 即化简可得：由 知假设不成立。故函数 存在“中值相依切线”。()()1122,A x yB xy120.2xxx+=CC()00,M xyCM,AB H x H x0,ABkfx 2121212121lnln1211,22xxxxa xxaaaxxxx212121lnln2xxxxxx212121lnln2,xxxxxx f x f x例例5 5 （2015泸州三诊）记函数（1）（2）（略）（3）设函数 的图象 与函数 的图象 交于 过线段 的中点 作 的垂线分别交 于点 问是否存在点使得 在 处的切线与 在 处的切线平行？若存在，求出 的横坐标；

12、若不存在，请说明理由。()02lnlnabbababa+-五、不等式链的应用五、不等式链的应用3 的的应用应用解析：解析：设 则 的横坐标为 在 处的切线斜率 在 处的切线假设存在，则()()()112212,0,P x yQ xyxx-五、不等式链的应用五、不等式链的应用3 的的应用应用解析：解析：亦即 与 矛盾，故不存在 在 处的切线与 在 处的切线平行。,M N1C,R 21ln,0.2f xx g xaxbx a212121lnln2xxxxxx212121lnln2,xxxxxx f x g x2Cx12,C CRPQ,P Q1CM2CNR2121lnln,yyxx222121222

13、1222212211222a xxxxb xxaxbxaxbxxx1CM2CN例例6 设数列 的通项为 证明：()02lnlnabbababa+-五、不等式链的应用五、不等式链的应用3 的的应用应用 na1111,23 nanln 21.nan解析：解析：因为 时，即令 则易证,2lnlnabbaba+-()()1ln 21ln 21nnn+-21,21,bnan()2lnln,babaab-+0baln 21.nan例例7 （2010湖北）已知函数 的图象在点 处的切线方程为（1）用 表示 ；（2）（略）（3）证明：()2011lnlnbababaab-+五、不等式链的应用五、不等式链的应用

14、4 的的应用应用()()0bf xaxc ax=+()()1,1f1.yx解析：解析：（1）（3）因为 时，即令 则()()()1111ln11.2321nnnnn+L2,11lnlnbabaab-+,b ca1,1 2;baca0ba()1 11lnln,2babaab骣-+-桫1,bnan()1 11ln1ln,21nnnn骣+-+五、不等式链的应用五、不等式链的应用4 的的应用应用()()0bf xaxc ax=+()()1,1f1.yx解析：解析：（3）因此将以上各不等式左右两边分别相加得：即 待证不等式成立.()()()1111ln11.2321nnnnn+L()1 111 11ln

15、2ln1,ln3ln2,2 122 231 11ln1ln,21nnnn骣骣鼢珑-+-+鼢珑鼢珑桫桫骣+-+桫+L()()111111ln1,223421nnn骣+桫+L()()111111ln11,234212nnn+-+五、不等式链的应用五、不等式链的应用4 的的应用应用 1ln 1.1xxf xxx1111,23 nan解析：解析：（1）的最小值是（2）当 时，即令 则 na0 x()0,f x 21ln2.4nnaan1.20ba2,11lnlnbabaab-+()1 11lnln,2babaab骣-+-桫1,bnan=+=()1 11ln1ln,21nnnn骣+-+五、不等式链的应用

16、五、不等式链的应用4 的的应用应用 1ln 1.1xxf xxx1111,23 nan解析：解析：（2）所以将以上各不等式左右两边分别相加得：变形即可得证.na0 x()0,f x 21ln2.4nnaan()()()()()()1 11111ln1ln,ln2ln1,21212111111ln3ln2,ln2ln 21,2232 212nnnnnnnnnnnnnnnn骣骣鼢珑+-+-+鼢珑鼢珑桫桫+骣骣鼢珑+-+-+鼢珑鼢珑桫桫+-L111111ln2,2123214nnnnnn骣-+五、不等式链的应用五、不等式链的应用4 的的应用应用 1ln 1.1xxf xxx1111,23 nan评注

17、：评注：本题提供标准答案是借助于第一问的 的最小值 时，加以赋值，并进行变形，令 有 亦即 达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.na0 x()0,f x 21ln2.4nnaan122ln 10,22xxxxx1,xk121111ln 1,2121kkk kkk111ln 1ln21kkkk例例9（2014福建）已知函数（1）（略）；（2）求证：()0lnlnbaab baba-五、不等式链的应用五、不等式链的应用5 的的应用应用1()ln(1)31.1f xaxxx222223411ln 21.4 114 214 31414nnn解析：解析：（2）当 时，即

18、令 则 变形可得：则 将以上不等式相加即可得证.0ba,lnlnbaabbalnln,babaab-21,21,bnan()()22ln 21ln 21,41nnn+-()()2222111142ln 21ln 21,4414141nnnnnnn-+轾+-=臌-()()221213ln3ln1,ln5ln3,44 11 44 21-L()()211ln 21ln 21,441nnnn+轾+-五、不等式链的应用五、不等式链的应用5 的的应用应用1()ln(1)31.1f xaxxx222223411ln 21.4 114 214 31414nnn评注：评注：本题提供标准答案是借助于第一问的 的最

19、小值 时，即 结合待证不等式的特征，令 得 整理得：即 借此作为放缩的途径达到证明的目的你能注意到两种方法的区别吗？a2a=-12ln(1)310,1 xxx1312ln1,1 xxx2*,21xkNk122312ln(1),22121121 kkk288212ln,4121kkkk211ln 21ln 21,414kkkk六、六、不等式链不等式链的探究的探究 以对数平均数的不等式链为落点的压轴试题层出不穷，是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的重要的理论背景之一.罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智。这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问

20、题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究1：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 ，求证：12,ax bx=122121.2lnlnxxxxxx210 xx2121122()lnln.xxxxxx,1,ax bx=+111.ln1ln22xxxxx0 x12ln.21xxx探究2：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 ，求证：示例示例1 1：（2012湖北文科）设函数 为正整数，为常数，曲线 在 处的切线方程为（1）求 的值；（2）求函数 的最大值；（3）证明：10,nf xaxxb xn,a b f x 1,1f1.xy,

21、a b f x 1.f xne六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例示例1 1：（2012湖北文科）设函数 为正整数，为常数，曲线 在 处的切线方程为（1）求 的值；（2）求函数 的最大值；（3）证明：10,nf xaxxb xn,a b f x 1,1f1.xy,a b f x 1.f xne分析：分析：（1）（2）（3）只需证明 即证亦即 只需证明 而得证。1,0.abmax1.11nnnnffnn11.1nnnnen11lnln1.nnen1ln1ln,1nnn11,ln1lnnnnnn111.ln1ln2nnnnnnn六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究3：取 则由知：于是，可编

22、制如下试题：已知 ，求证：,ax bcx=-2.2lnlnccxcxx02ax22lnln.axaxxa示例示例2 2：已知函数 （1）设 证明：当 时，（2）若函数 有两个零点 且 证明：22ln.f xxaxax0,a02ax.f axf x f x12,x x120,xx120.2xxf六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例示例2 2：已知函数 （1）设 证明：当 时，（2）若函数 有两个零点 且 证明：22ln.f xxaxax.f axf x0,a02ax12,x x分析：分析：（1）只需证 即证 亦即（2）要证 只需证由 有即证 变形亦即120.2xxf222ln2ln.axaa

23、xaaxxaxax f x120,xx22lnln.axaxxa.lnln2axxaxxaxx1212121220,2xxaxxxxfxx12.xxa 120,f xf x 212121212,lnlnxxxxaxxxx 12121221212,lnlnxxxxxxxxxx122121.lnln2xxxxxx六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究4：取 则由知：22121,1,axbx=+=+121,1,ax bx=-=-探究5：取 则由知：221222221212ln 1ln 12,2xxxxxx 121212ln 1ln 12,112xxxxxx示例示例3 3：（2013湖南文科）已知函

24、数（1）求 的单调区间；（2）证明：当 时，21.1xxf xex f x 1212f xf xxx120.xx六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例示例3 3：（2013湖南文科）已知函数（1）求 的单调区间；（2）证明：当 时，21.1xxf xex f x 1212f xf xxx120.xx分析：（1）在 上单调递增，在 上单调递减；（2）因为 ，则即所以 f x0，0,1212f xf xxx120.xx12121222121101,11xxxxeexxxx22111222ln 1ln 1ln 1ln 1,xxxxxx22121212ln 1ln 1ln 1ln 1,xxxxxx2

25、212121212ln 1ln 1ln 1ln 11,xxxxxxxx六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例示例3 3：（2013湖南文科）已知函数（1）求 的单调区间；（2）证明：当 时，L LL L 21.1xxf xex f x 1212f xf xxx120.xx分析：分析：（2）根据对数不等式链可知：所以 22121212221212ln 1ln 1ln 1ln 11,11xxxxxxxxxx221222221212ln 1ln 12,2xxxxxx 121212ln 1ln 12,112xxxxxx12221212221,22xxxxxx六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例示

26、例3 3：（2013湖南文科）已知函数（1）求 的单调区间；（2）证明：当 时，L LL L 21.1xxf xex f x 1212f xf xxx120.xx分析：分析：（2）亦即因为所以故 得证。12221212210,22xxxxxx122,xx221212210,22xxxx120.xx六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究6：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 ，求证：12,ax bx=211 221.lnlnxxx xxx210 xx21211 2lnln.xxxxx x探究7：取 则由 知：于是，可编制如下试题：求证：()1,abx x=2(1)11,ln.1 xxxxx

27、x11.2lnxxxx六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究8：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：探究9：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：12,ax bx=21221122.11lnlnxxxxxxx210,xx221212121 21lnln.2xxxxxxx x121,1,axbx=+=+122121(1)(1)(1)(1).2ln(1)ln(1)xxxxxx1212,(1,),x xxx2112211.ln(1)ln(1)2xxxxxx六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究10：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：121,1,axbx=+=+211

28、221(1)(1)(1)(1).ln(1)ln(1)xxxxxx211 212211.ln(1)ln(1)xxx xxxxx1212,(1,),x xxx示例示例4 4：（2014绵阳三诊理科）已知函数 有且只有一个零点。（1）求 的值；（2）（略）（3）设函数 对任意的证明：不等式 恒成立。()()lnf xxax=+-a()(),h xf xx=+()()1212,1,x xxx+()()121 212121xxx xxxh xh x-+-六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例示例4 4：（2014绵阳三诊理科）已知函数 有且只有一个零点。（1）求 的值；（2）（略）（3）设函数 对任意

29、的证明：不等式 恒成立。()()lnf xxax=+-a()(),h xf xx=+()()1212,1,x xxx+()()121 212121xxx xxxh xh x-+-分析：分析：（1）（2）（略）（3）设函数 不妨设只需证明易证不等式恒成立。1;a=()()ln1,h xx=+121,xx-()()()()()()1212121111,ln1ln1xxxxxx+-+-+六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究11：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：2122112(1)(1)21.11ln(1)ln(1)11 xxxxxxx2112221122(1)(1)1.ln(1)l

30、n(1)2 xxxxxxxxx121,1,axbx=+=+1212,(1,),x xxx六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究12：取 则由 知：于是，可编制如下试题：已知 求证：探究13：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：121,1,axbx=-=-122121(1)(1)(1)(1).2ln(1)ln(1)xxxxxx2112211.ln(1)ln(1)2xxxxxx211221(1)(1)(1)(1).ln(1)ln(1)xxxxxx1212,(1,),x xxx211 212211.ln(1)ln(1)xxx xxxxx1212,(1,),x xxx121,1,axbx=

31、-=-六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例示例5 5：（2014南通二模）已知函数 其图象与 轴交于 两点，且（1）求 的范围；（2）证明：,xf xeaxa aR分析：（1）（2）由已知得则两边取对数，则：所以 而12120,0,xxeaxaeaxax12,0,0A xB x12.xxa1 20fx x1212121ln,11xxeeaxaxxx1122lnln1ln1,axxxx12121,ln1ln1xxxx 1212121111,ln1ln1xxxxxx2,;ae六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例示例5 5：（2014南通二模）已知函数 其图象与 轴交于 两点，且（1）求 的

32、范围；（2）证明：,xf xeaxa aR分析：要证 只需证明即因为所以问题得证。x12,0,0A xB x12.xxa1 20fx x12121 212121110,ln1ln1 xxxxx xxxxx1 20,fx x1 2112222lnln1ln1,x xaxxxx12121 2ln1ln12,xxxxx x121 212ln1ln1ln1ln10,xxx xxx2121 21220,xxx xxx12121 2ln1ln12,xxxxx x六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究14：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：121,1,axbx=-=-2122112(1)(1)

33、21.11ln(1)ln(1)11 xxxxxxx211222112(1)(1)2(1)(1)1.ln(1)ln(1)2 xxxxxxxxx1212,(1,),x xxx六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究15：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：122121.2xxxxeeeexx211221.2xxxxxxeeee12,xxaebe=1212,x xR xx示例示例6 6：（2013陕西理科）已知函数 （1）（2）（略）（3）设 比较 与 的大小，并说明理由.,.xf xexR,ab()()2f af b+()()f bf aba-示例示例6 6：（2013陕西理科）已知函数

34、 （1）（2）（略）（3）设 比较 与 的大小，并说明理由.六、六、不等式链的不等式链的探究探究,.xf xexR分析：分析：显然，()()f bf aba-,ab()()2f af b+()()()(),22abbaf af bf bf aeeeebaba+-+-=-()()()().2f af bf bf aba+-评注：评注：本题中的官方答案是用比较法，转化为以 为元构造函数 解决问题，显然比较繁琐。()()()()()()()22.22b aaf af bf bf ababaeebaba-+-+-=-ba()()222xxxeg xx+-=六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究16：

35、取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：211221.xxxxeeeexx12212221.xxxxxxeee12,xxaebe=1212,x xR xx示例7：（2014绵阳一诊理科）已知函数（1）（2）（略）（3）如果函数 恰有两个不同的极值点证明：21.2xf xexax aR 212g xf xax12,x x12ln2.2xxa六、六、不等式链不等式链的探究的探究示例7：（2014绵阳一诊理科）已知函数（1）（2）（略）（3）如果函数 恰有两个不同的极值点证明：21.2xf xexax aR 212g xf xax12,x x12ln2.2xxa分析：因为函数 恰有两个不同的极

36、值点所以两式相减，得：要证明 只需证明：得证。2,2,xxg xeaxax g xeaxa g x1212,x xxx121220,20,xxeaxaeaxa12122.xxeeaxx12ln2.2xxa1212212.xxxxeeexx六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究17：取 则由知：于是，可编制如下试题：已知 求证：21212212.11xxxxxeeexxee21121122121221212211.xxxxxxxxxxxxeeeeeexxeeeexx12,xxaebe=1212,x xR xx六、六、不等式链不等式链的探究的探究探究18：探究19：L LL L七、七、二二轮复习

37、的思考轮复习的思考 1.凸显重点，明确二轮复习的主体知识 经过一轮复习后，专题复习时间有限，教学务必凸显重点、难点，挖掘试题的背景，设置恰当的问题链，合理、有侧重地展开复习，引领学生在问题解决的过程之后，深化对重点知识的理解、掌握、探究。七、七、二二轮复习的思考轮复习的思考 2.潜心培养学生的思维品质 高考命题的能力立意决定了专题复习的方向、思路。经过一轮复习，学生基本具备运用数学思想方法的“显性运用”，二轮复习应该聚焦于能力的提升，特别是数学思想方法运用的自觉性、数学解题策略选择的多样化。七、七、二二轮复习的思考轮复习的思考 3.注重题根的探究 水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通

38、性通法方是提升数学素养的途径.八.相关问题 1.1.极值点极值点偏移问题偏移问题 已知已知函数函数 是连续函数，是连续函数，在在区间区间 只有一个极值点只有一个极值点 ，且，且 ，很多，很多极值函数由于极值点极值函数由于极值点左右的左右的 “增减速度增减速度”不同不同，函数函数图象不具对称性图象不具对称性，常常，常常有有极值点极值点 （或（或 ）的的情况情况.这种这种状态状态为为“极值点偏移极值点偏移”.yf x f x12,x x0 x 12f xf x1202xxx1202xxfxf 2.2.对数平均值的应用与探究，一般是双变量的问题，往往与极值点的偏移有关系，对数平均值的应用与探究，一般

39、是双变量的问题，往往与极值点的偏移有关系，请参考以下文献，可以更好地理解对数平均值的探究。请参考以下文献，可以更好地理解对数平均值的探究。（1 1）刑友宝）刑友宝.极值点偏移问题的处理策略极值点偏移问题的处理策略.中学数学教学参考中学数学教学参考JJ：上旬，：上旬，2014.72014.7 （2 2）赖淑明）赖淑明.极值点偏移问题的另一本质回归极值点偏移问题的另一本质回归.中学数学教学参考中学数学教学参考JJ：上旬，：上旬，2015.42015.4 （3 3）朱红岩）朱红岩.极值点偏移的判定方法和运用策略。中学数学教学参考极值点偏移的判定方法和运用策略。中学数学教学参考JJ：上旬，：上旬，2016.32016.3